ABC144D 题解
FurippuWRY
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题解
题意如下
其中 a 是底边长，b 是容器的高，x 是水的体积。
现在要把它倾斜，有三种情况。
图 1
图 2
图 3
前置知识
做这题你首先要知道三角函数、反三角函数、弧度制等知识。
三角函数中常用的有正弦函数、余弦函数、正切函数等。本题只用正切函数就可以 AC，正切函数的定义如下：
三角函数还有一个在平面直角坐标系里的定义，在这里不讲。
那么什么是反三角函数？反三角函数是三角函数的反函数。
反函数即定义域（函数自变量的取值范围）和值域（函数因变量的集合，即 y 值的集合）互换的函数。
我们利用反三角函数来求出一个三角函数值对应的角的大小。
要表示一个三角函数的反函数，用 \operatorname{arc}+ 函数名或在三角函数与自变量中间加上上标“-1”即可。
如正切函数，用 \arctan a 或 \tan^{-1}a 来表示反正切函数（a 是一个常数）。
在 C++ 的 cmath 库里，有一个函数 atan()，可以用它来计算一个数的反正切函数，结果是一个弧度数，（弧度制是表示角的大小的方法之一）但输出结果要求是角度，这时我们就要把弧度转换为角度。
角度与弧度的换算如下（\operatorname{rad} 为弧度单位）：
也就是说，要把弧度数转换为角度，只要把这个弧度数乘 \dfrac{180}{\pi} 即可。
回归正题
先定义几个要用的变量：
容积 v=a^2b；
角度 ang；
$h=$ 图 2、图 3 中的 $CP$。
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先看第一种情况.。
这种情况下，$x>\dfrac{v}{2}$，$PD\parallel EF$，$BC\parallel AD$。
由“两直线平行，同位角相等”可得 $\angle BCE=\angle ADP$。
也就是说，$\tan\angle BCE=\tan\angle ADP=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{m}{a}$。
我们只要求出 $\arctan \dfrac{m}{a}$ 再转换为角度即可。
求 $m$，可以先把剩余体积（即 $v-x$）乘 $2$，当作一个正方体，因为正方体的体积为边长的三次方，所以将剩余体积除容器底面积（$a^2$）就可得到 $m$。
即 $m=\dfrac {2(v-x)}{a^2}$。
因为这个容器是个长方体，所以 $AD=BC=a$，所以 $\arctan \dfrac{m}{a}=\arctan \dfrac{2(v-x)}{a^3}$，$ang=\dfrac{180}{\pi}\times\arctan \dfrac{2(v-x)}{a^3}$。
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第二、三种情况。
由于这两种情况本质上是一样的，所以放在一起讲。
这种情况下，$x\le\dfrac{v}{2}$。
这里要求出 $\tan \angle BCE$ 和第一种情况类似，$PD\parallel EF$，由“两直线平行，内错角相等”可得 $\angle BCE=\angle DPC$。
即 $\tan\angle BCE=\tan\angle DPC=\dfrac{DC}{PC}=\dfrac{b}{h}$。
求 $h$，先求 $2x$，得到一个长方体。
长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高，这里的高就是 $h$，所以长 $\times$ 宽 $=ab$，即 $h=\dfrac{2x}{ab}$。
所以 $\arctan\dfrac{b}{h}=\arctan\dfrac{ab^2}{2x}$，$ang=\dfrac{180}{\pi}\times\arctan\dfrac{ab^2}{2x}$。
综上所述，
$$ang=\begin{cases}\dfrac{180}{\pi}\times\arctan \dfrac{2(v-x)}{a^3},x>\dfrac{v}{2}\\\dfrac{180}{\pi}\times\arctan\dfrac{ab^2}{2x},x\le\dfrac{v}{2}\end{cases}$$
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# AC code
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a, b, x, ang, v, m, h; //ang 为角度，v 为容积，m 为 AP，h 为 CP
const double pi = 3.14159265358979;
int main() {
cin >> a >> b >> x;
v = a * a * b;
if (x > v / 2){//第一种情况
m = (v - x) * 2 / (a * a);
ang = atan(m / a) * (180 / pi);//求出反正切函数的值，弧度化为角度
}
else {//第二、三种情况
h = 2 * x / b / a;
ang = atan(b / h) * (180 / pi);
}
printf("%.10lf",ang);//要输出 10 位小数
return 0;
}
```
#### 化简：
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a, b, x, v, pi = 3.14159265358979;
int main() {
cin >> a >> b >> x;
v = a * a * b;
if (x > v / 2) {
printf("%.10lf", atan((v - x) * 2 / (a * a * a)) * (180 / pi));
}
else {
printf("%.10lf",atan(a * b * b / 2 / x) * (180 / pi));
}
return 0;
}
```