球体的引力

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本文目的是在证明课本上两个完全没有证明的命题：

一些约定：

则 |\text{OH}| = r_0 \cos \theta = t，|\text{HK}| = d - t，\text{AH} = \sqrt{r_0 ^ 2 - t ^ 2}，\text{AK} = \sqrt{d^2 + r_0 ^ 2 - 2dt}。

以下的力均为标量。 所以：

F_A = \dfrac{G m_1 m_2}{\text{AK} ^ 2} \qquad F_H = \dfrac{1}{2}(F_A + F_{A'}) = F_A \cdot \dfrac{\text{HK}}{\text{AK}} = \dfrac{G m_1 m_2 \cdot \text{HK}}{\text{AK} ^ 3}

我们现在来算圆环 (H, \text{HA}) 的表面积，设其在射线 AH 上投影的宽度为 \Delta t，当 \Delta t 足够小时，设其宽度为 \Delta l，其面积为 \Delta s，我们有：

\Delta l = \Delta t \cdot \dfrac{\text{OA}}{\text{AH}} \qquad \Delta s = 2\pi \cdot \text{AH} \cdot \Delta l = 2 \pi \cdot \text{OA} \cdot \Delta t

然后积起来。

\begin{aligned} \int 2 \pi \cdot \text{OA} \cdot F_H \cdot \text{d} t &= 2 \pi m_1 m_2 r_0 G\int \dfrac{d - t}{(d ^ 2 + r_0 ^ 2 - 2dt) ^ \frac{3}{2}} \cdot \text{d} t \\ &= \dfrac{G m_1 m_3}{ 2 r_0}\int \dfrac{d - t}{(d ^ 2 + r_0 ^ 2 - 2dt) ^ \frac{3}{2}} \cdot \text{d} t \end{aligned}

令 u = d^2 + r_0 ^ 2 - 2dt，那么 \text{d} u = -2d\,\text{d} t，d - t = \dfrac{u +d ^ 2 - r_0 ^ 2}{2d}，则：

\begin{aligned} \int \dfrac{d - t}{(d ^ 2 + r_0 ^ 2 - 2dt) ^ \frac{3}{2}} \cdot \text{d} t &= \int \frac{-1}{2d} \cdot \dfrac{u + d ^ 2 - r_0 ^2}{2d} \cdot u ^ {-\frac{3}{2} }\cdot \text{d} u \\ &= -\dfrac{1}{4d^2} \int ((d^2 - r_0^2) u ^ {-\frac{3}{2}} +u ^ {-\frac{1}{2}} ) \cdot \text{d} u \\ &= \dfrac{ (d^2 - r_0^2) \cdot u ^ {-\frac{1}{2}} - u ^ {\frac{1}{2}}}{2d^2} \\ &= \dfrac{dt - r_0 ^ 2}{d ^ 2 \sqrt u} \end{aligned}

带入 t 的下界 -r_0 与上界 r_0，得到 \sqrt u 的下界 d + r_0 与上界 \sqrt{(d- r_0)^2} = d - r_0，带入计算可以的到 \dfrac{2 r_0}{d ^ 2}。然后带入最上式的到 \dfrac{G m_1 m_3}{d ^ 2}，这是一个与半径无关的量，我们发现其等效于这个球壳质心对物体 K 的引力，对与星球来说，就可以等效为其质心的引力了。

对与在球壳内的也是同理啦，我们会发现最后 \sqrt u = r_0 - d，积以下就的到 0 \, \text{N}。

最后由于我们推导出的结论，我们发现，两个如本文所说的球体之间的引力完全等效于他们质心之间的引力！