P9327 [CCC 2023 S4] Minimum Cost Roads

· · 题解

考虑不存在重边的情况。

对于一对起点和终点 s,t，如果 s,t 中只有一条最短路径，那么是肯定要选的。

否则，令 s,t 的一条当前最优最短路径的边集为 p_1,p_2,\dots,p_k，观察到如果存在一条边 p_i，令其两个端点为 a,b，a,b 之前存在另外一条长度相同的最短路径，则替换。这样的操作次数是有限的。最后，每条边 p_i 都是两个端点之间的最短路径。显然这样的边是一定要取的。

抛开重边的情况来看，这道题的其实并不太是像最小化题目，选哪些边是确定的。

有重边判一下就好。

具体实现上，第一关键字为长度，第二关键字为价值升序排序。这样保证最先选到的是两个端点之间的最短路径。如果这两个点不连通则直接加入这条边，否则判断当前的最短路如果大于这条边的长度则加入（等于没有加入的必要，上一段说明了这一点）。

复杂度 O(nm\log m)。因为如果加入这条边之前不连通并不跑最短路，所以跑的会比期望的快一点。

Update：好像做法很多，排序的方式也很多。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 2005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
void read(int &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
    Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
    int sum=1;
    while (y) {
        if (y&1) sum=sum*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }
    return sum;
}
priority_queue<pair<int,int> >q;
struct yyy {
    int x,y,l,c;
}a[maxn];
int fa[maxn],ans,vis[maxn],dis[maxn],n,m;
int getfa(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
bool cmp(yyy x,yyy y) {return x.l==y.l?x.c<y.c:x.l<y.l;}
vector<pair<int,int> >to[maxn];
const int inf=1e12;
bool check(int s,int t,int d) {
    int i,x;
    for (i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf,vis[i]=0;
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(mk(-(dis[s]=0),s));
    while (!q.empty()) {
        int x=q.top().se;q.pop();
        if (vis[x]) continue;vis[x]=1;
        for (auto tmp:to[x]) if (!vis[tmp.fi]&&dis[tmp.fi]>dis[x]+tmp.se) {
            dis[tmp.fi]=dis[x]+tmp.se;
            q.push(mk(-dis[tmp.fi],tmp.fi));
        }
    }
    return d<dis[t];
}
signed main(void){
    int i;
    read(n);read(m);
    for (i=1;i<=m;i++) {
        read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].l),read(a[i].c);
    }
    for (i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    sort(a+1,a+1+m,cmp);
    for (i=1;i<=m;i++) {
        auto tmp=a[i];
        if (getfa(tmp.x)^getfa(tmp.y)) {
            fa[getfa(tmp.x)]=getfa(tmp.y);
            ans+=tmp.c;
            to[a[i].x].push_back(mk(a[i].y,a[i].l));
            to[a[i].y].push_back(mk(a[i].x,a[i].l));
        }
        else if (check(tmp.x,tmp.y,tmp.l)) {
            ans+=tmp.c;
            to[a[i].x].push_back(mk(a[i].y,a[i].l));
            to[a[i].y].push_back(mk(a[i].x,a[i].l));
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}