「题解」Codeforces 1427G One Billion Shades of Grey
do_while_true
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题解
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\min \{\sum_{(u,v)}\max(0,h_u-h_v+w_{u,v})c_{u,v}\}
$$
对偶一下，问题就变为：如果两个格子相邻就互相连容量为 $c_{u,v}=1$，费用为 $w_{u,v}=0$ 的边，跑最大费用循环流。
为了限制边界上那些格子 $h$ 取得就是其 $a_{i,j}$，建立一个点 $S$ 代表零势点，连边 $S\to u$，容量为 $+\infty$，费用为 $a_{i,j}$；连边 $u\to S$，容量为 $+\infty$，费用为 $-a_{i,j}$。（这里 $c=\infty$ 是为了限制对偶前问题里那个绝对值必须取 $0$）。
如果将边界内部的费用提前统计好，$c=1,w=0$ 的边仅在边界与内部，内部与内部之间连边。那么边界只有一条出边。所以边界与 $S$ 之间的容量可以视作 $1$。
为了跑最大费用循环流，将边界 $\to S$ 的边改成边界到 $\to$ 汇点 $T$ 的边，跑最大费用可行流就行。
想要优化的话就考虑从大往小对 $S$ 的出点开始进行 bfs，在能走到的路径里面选择最优的那一条增广。每次增广完 $S$ 的出边和 $T$ 的入边就会有一条失效。所以总复杂度是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的。
```cpp
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define DE(fmt,...) fprintf(stderr, "Line %d : " fmt "\n",__LINE__,##__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
r=0;bool w=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int N=210;
const int inf=0x7fffffff;
const ll INF=0x7fffffffffffffff;
int tot;
int head[N*N],ent=1;
int n,p[N][N],a[N][N];
int ok[N*N],pre[N*N],fro[N*N];
int dx[]={1,-1,0,0};
int dy[]={0,0,1,-1};
vpii vec;
struct Edge{
int to,nxt;
int w;
}e[(N*N)<<3];
inline void adde(int x,int y){
e[++ent]={y,head[x],1};head[x]=ent;
e[++ent]={x,head[y],0};head[y]=ent;
}
void dfs(int x){
ok[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to,w=e[i].w;
if(!w||ok[v])continue;
pre[v]=i;fro[v]=x;
dfs(v);
}
}
ll MC(){
sort(vec.begin(),vec.end(),[&](pii x,pii y){return a[x.fi][x.se]>a[y.fi][y.se];});
ll s=0;
for(auto [u,v]:vec){
for(int i=1;i<=tot;i++)ok[i]=pre[i]=0;
dfs(p[u][v]);
int o=0,c=-inf;
for(auto [x,y]:vec){
if(ok[p[x][y]]&&-a[x][y]>c){
c=-a[x][y];
o=p[x][y];
}
}
if(c==-inf)continue;
if(a[u][v]+c<0)continue;
s+=a[u][v]+c;
while(o!=p[u][v]){
int ep=pre[o];
e[ep].w^=1;e[ep^1].w^=1;
o=fro[o];
}
}
return s;
}
signed main(){
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
read(a[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i][j]>=0)
p[i][j]=++tot;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i][j]>=0){
if(a[i][j]>0){
vec.pb(mp(i,j));
}
for(int o=0;o<4;o++){
int x=i+dx[o],y=j+dy[o];
if(a[i][j]>0&&a[x][y]>0)ans+=abs(a[i][j]-a[x][y]);
else{
if(a[x][y]>=0){
adde(p[i][j],p[x][y]);
}
}
}
}
ans/=2;
ans+=MC();
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
```