题解：P3385 【模板】负环

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阅读此篇题解的前提是对于最短路算法有一定的了解。

容易发现，在负环中不断转圈会使得最短路长度变为负无穷，这具有一定启发性。

Dijkstra 不能处理负数，这里使用 SPFA 或 Bellman-Ford 解决，该篇题解使用 SPFA。

但需要注意的是，尽管 SPFA 的理论复杂度很优秀，但容易被特殊构造（如菊花图）卡到难以接受的复杂度，详情见 P4768。

所以在处理大多数无负权最短路时，通常不会选择 SPFA 算法。

没有负环的话，最短路径的长度一定为 n-1，因为当超过该长度后，根据抽屉原理，一定有一个点被重复经过，也就是形成了一个环。

如果该环不是负环，重复经过一定不优，所以当每一条路径的长度达到 n 时，即可判断该图存在负环。

代码如下：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,m,u,v,w,head[500005],cnt,d[500005],ma[500005];
bool vis[500005];
struct node{
    int to,next,w;
}a[500005];
void add(int u,int v,int w)
{
    a[++cnt]={v,head[u],w};
    head[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
    queue<int>q;
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    memset(ma,0,sizeof ma);
    d[s]=0;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for(int i=head[x];~i;i=a[i].next)
        {
            int l=a[i].to;
            int r=a[i].w;
            if(r+d[x]<d[l])
            {
                ma[l]=ma[x]+1;
                if(ma[l]>=n) return 1;
                d[l]=r+d[x];
                if(!vis[l])
                {
                    vis[l]=1;
                    q.push(l);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{ 
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(head,-1,sizeof head); 
        memset(a,0,sizeof a);
        cin>>n>>m;
        while(m--)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            if(w<0) add(u,v,w);
            else add(u,v,w),add(v,u,w);
        }
        if(spfa(1)) cout<<"YES\n";
        else cout<<"NO\n";
    }
    return 0;
}