UVA10649 Danger Point 题解

xibaohe · 2023-07-09 18:12:15 · 题解

一道非常好的几何题，适合数学很好的谷民们食用。思路上参考了 sqh_let_it_be 大佬的思路，在此表示感谢！这题公式比较多，格式可能会炸，希望审核题解的管理员通融一下，感谢！

这篇题解进行了更新（原本已通过），删去了两行无用的代码块，希望能尽快过审。

题目翻译

• 一道关于圆的几何题

• 已知 CD 和 AB 长，CD 为直径，点 F 为圆心， \angle ABC= 45^\circ，求 BE 长。

• 若有解，输出 BE 长；若输入的数据无解，输出 INCORRECT INFORMATION !!!。

题目思路

楼上唯一一篇题解给出了证明过程，但没有对之进行解释，因此这篇题解将为您解释该过程。

这道题目主要用到的定理有以下两种：

垂径定理

• 垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理；

• 垂径定理的通俗表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

• 拓展：一条直线，在下列五条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。

  1. 平分弦所对的优弧

  2. 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

  3. 平分弦

  4. 垂直于弦

  5. 过圆心（或是直径）

• 这道题中用到垂径定理的地方就是证明 AH 与 HG 相等。

勾股定理

• 勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

• 中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。

• 这道题中用到勾股定理的地方较多，其中最典型的就是证明无解情况。

满分代码

加上了详细的代码注释。

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    while (true)
    {
        double num1, num2;
        cin >> num1 >> num2; // 读取输入的两个数

        // 输入为0时退出循环
        if (num1 == 0 && num2 == 0)
            return 0;

        double radius = num1 / 2; // 计算半径（直径的一半）
        double diameter = num2; // 直径为输入的第二个数

        double result, intermediateResult;
        intermediateResult = 2 * radius * radius - diameter * diameter; // 计算中间结果

        // 判断解是否存在
        if (intermediateResult <= 0)
        {
            cout << "INCORRECT INFORMATION !!!" << endl; // 解不存在，输出错误信息
        }
        else
        {
            result = sqrt(intermediateResult); // 计算最终结果
            printf("%.6lf\n", result); // 输出结果，保留小数点后6位
        }
    }

    return 0;
}