对面与面的位置关系的初步探究

wsx10 · 2025-12-20 15:05:22 · 算法·理论

本教程适合立体几何初学者学习使用。我们默认你已经学习过立体几何的基本公理与空间中线与线，线与面的位置关系。

第1部分：初步探索面与面的位置关系

在之前的学习过程中，我们已经学到了线与线，线与面的位置关系，当时划分位置关系的核心依赖一个重要的判定指标，它是点到线的距离或是线与面的交点数。现在，我们可以设定这个指标为两个平面的公共点个数为判断指标，不放记为 n。

有公理2保证，我们可以将其分为2类：

需要注意的是，你可能听说过的“两个平面垂直”不是一种基本的面与面位置关系。

基于此，给出两平面平行于两平面相交的定义：

定义（两平面平行）：两个没有公共点的平面平行。

定义（两平面相交）：如果两个平面有且只有一条公共直线，就说这两个平面有相交位置关系，简称两平面相交。

第2部分：重要支撑定义、定理

让我们先从定义开始思考。类似线面平行显然，定义并不好直接使用。我们需要更方便的定理。

于是我们给出下面的定理：

定理（面面平行的判定）：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

他的证明也类似于线面平行的证明，在没有基础定理的情况下，可以考虑反证法：

证明：

已知：空间内存在平面 \alpha,\beta，存在两条直线 a \subset \beta,b \subset \beta 且 a \parallel \alpha,b \parallel \alpha,a \cap b = A。

求证： \alpha \parallel \beta。

证明：假设上述命题不成立，即 \alpha \nparallel \beta，则可记二者交线为 c=\alpha \cap \beta。

由线面平行的性质定理，

同理有 b \parallel c。

又 a \cap b = A，即过平面 \beta 内点 A 有两条直线与直线 c 平行，与平行公理矛盾。

故原命题得证。

利用线面平行的判定定理，由面面平行的判定定理可得：

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平
面内的两条直线，则这两个平面平行。

这个推论也可用来判定面面平行。

我们也能得出一些性质定理：

定理（面面平行的性质）：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

证明：

已知：若 \alpha \parallel \beta，\alpha \cup \gamma = l，\beta \cup \gamma = m。

求证：l \parallel m。

因为 \alpha \parallel \beta，所以 \alpha 与 \beta 没有公共点。

又因为 l \subset \alpha,m \subset \beta，所以 l \cap m = \varnothing。

由 l \subset \gamma，m \subset \gamma，所以 l 与 m 共面且没有公共点，即 l \parallel m。

故原命题得证。

它也有下面的推论：

推论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行。

事实上，对平行平面做定量的刻画，类比之前所学的线与面的关系，可以以面与面的距离为一个衡量指标。他也有两种定义：

• 公垂线段定义：两个平行平面之间的所有公垂线段长度都相等，这个长度就是两平面之间的距离。
• 最小距离定义：两平面上任意两点间距离的最小值。

而对于两平面相交，我们依然聚焦于之前提到的衡量指标——夹角。这就是二面角，其定义如下：

定义（二面角）：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱。

而为了刻画二面角的大小，我们可以这样定义：

如图，在二面角 \alpha - l - \beta 的棱上任取一点 O，以 O 为垂足分别在半平面 \alpha 和 \beta 内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角，其大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。

我们可以对二面角做简单验证，发现其符合我们对“面面垂直”的认知，说明这是良好的定义。

对于二面角的求法，我们依然要把它转化为现在已经熟悉的问题并求解。

我们也补充两个平面垂直的相关知识，这为某些二面角的求法提供了依据。

二面角大小为 \frac \pi 2 时，我们称两个半平面垂直。

当然，由于一直求解二面角的大小比较麻烦，我们需要更好用的判定定理。

定理（面面垂直的判定）：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

基于线面垂直与对二面角的寻找，该定理容易证明。

同样地，他也有性质定理：

定理（面面垂直的性质）：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

其证明过程基本与判定定理“相反”。但值得注意的是，面面垂直的判定定理与性质定理是有区别的。前者是由线面垂直得到面面垂直，后者是由面面垂直得到线面垂直。

这样，两个定理实现了线面垂直于面面垂直的互相转化，化为了我们所熟悉的内容，其求解也就容易得多了。

第3部分：相关例题

[例题1] 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。

证明：

已知：\alpha \parallel \beta，AB 的端点 A \in \alpha，B \in \beta，CD 的端点 C \in \alpha，D \in \beta，且 AB \parallel CD。

求证：AB = CD。

因为 AB \parallel CD，由公理3推论3知 AB 和 CD 确定一个平面 \gamma。

又 \gamma 与 \alpha 相交于直线 AC，与 \beta 相交于直线 BD。由于 \alpha \parallel \beta，且它们被平面 \gamma 所截，由面面平行的性质定理可知 AC \parallel BD。

在平面 \gamma 内有 AB \parallel CD 且 AC \parallel BD，所以四边形 ABDC 是平行四边形，故 AB = CD。

故原命题得证。

[例题2] 若 \triangle ABC 在平面 \alpha 内，点 P 是平面 \alpha 外一点，它在平面 \alpha 上的射影为 O。若 O 是 \triangle ABC 的内心，用二面角的方法证明：O 到平面 PBC、PAC、PAB的距离相等。

证明：

由 O 为内心，设 O 到三边 BC, AC, AB 的距离均为内切圆半径 r，垂足分别为 D, E, F。三个垂足满足 OD=OE=OF=r，且 OD\perp BC，OE\perp AC，OF\perp AB。由 PO\perp\alpha 得 PO\perp OD、OE、OF。

由平面 PBC 与 \alpha 的交线为 BC，OD \perp BC 且 PO \perp BC 知 BC \perp 平面 POD 知 \angle PDO 是二面角 \theta_1 的平面角。同理，\angle PEO、\angle PFO 分别为 \theta_2、\theta_3 的平面角。

在 \text{Rt}\triangle POD、\triangle POE、\triangle POF 中，\tan\theta_1=\dfrac{PO}{OD}，\tan\theta_2=\dfrac{PO}{OE}，\tan\theta_3=\dfrac{PO}{OF}。由 OD=OE=OF=r 知 \tan\theta_1=\tan\theta_2=\tan\theta_3，又 \theta_1、\theta_2、\theta_3 均为锐角，不妨记 \theta = \theta_1 = \theta_2 = \theta_3。

由于点 O 到平面 PBC 的距离 h_1 等于平面 POD 内点 O 到 PD 的垂线段长，又在 \text{Rt}\triangle POD 中，h_1 = OD \cdot \sin\theta = r\sin\theta。同理，点 O 到平面 PAC 的距离 h_2 = r\sin\theta，到平面 PAB 的距离 h_3 = r\sin\theta。故 h_1 = h_2 = h_3，即 O 到三个侧面的距离一定相等。

综上，原命题得证。

[例题3]：在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp 平面 ABCD，且 AB = 4，BC = 3，AD = 5，\angle ABC = 90^\circ，E 是 CD 的中点，求证：平面 PCD \perp 平面 PAE。

证明：

在底面四边形 ABCD 中，\angle ABC = 90^\circ，即 AB \perp BC。

在 \triangle ABC 中，由勾股定理，

由 AD = 5，知 \triangle ACD 是以 A 为顶点、CD 为底边的等腰三角形。又 E 是 CD 的中点，故 AE \perp CD。

因为 PA \perp 平面 ABCD，CD \subset 平面 ABCD，由定义知 PA \perp CD。

又由 AE \perp CD，PA \perp CD，AE \cap PA = A 和 AE, PA \subset 平面 PAE，由线面垂直的判定定理可得 CD \perp 平面 PAE。又由 CD \subset 平面 PCD，根据面面垂直的判定定理，平面 PCD \perp 平面 PAE。

故原命题得证。