二次剩余
Alioth_
2019-07-13 18:03:58
# 二次剩余
## 定义
对于任意正整数$n$，若对于一个质数$p$,存在$x$满足$x^2\equiv n(mod \ p)$则称$n$是模$p$的二次剩余
## 用途
求模意义下开根
## 解法
首先必须满足$p$是奇素数
#### 引理一：
对于同余方程$x^2\equiv n(mod \ p)$，总共有$\frac{p-1}{2}+1$个解
#### 引理二：
定义**勒让德记号**
$$ \lgroup \frac{n}{p} \rgroup=\left\{\begin{aligned}1,n\ is\ the\ Quadradic\ residue\\-1, n\ is\ not\ the\ Quadradic\ residue\\0, n\equiv0(mod\ p)\end{aligned}\right.$$
则$\lgroup \frac{n}{p} \rgroup\equiv n^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)$
证明：
若$n$是$p$ 的二次剩余 则令$x^2\equiv n(mod \ p)$则${x^2}^{\frac{p-1}{2}}$=$x^{p-1}\equiv1(mod\ p)$ 由费马小定理得$x$存在
若$n$不是$p$的二次剩余 则令$x^2\equiv n(mod \ p)$则${x^2}^{\frac{p-1}{2}}$=$x^{p-1}\equiv-1(mod\ p)$ 显然$x$不存在
若$n\equiv0(mod\ p)$则显然满足
#### 定理：
设$a$满足 $\omega=a^2-n$不是$p$的二次剩余 即$\lgroup \frac{\omega}{p} \rgroup=-1$ 即$x^2\equiv \omega(mod \ p)$无解，则$x=(a+\sqrt\omega)^{\frac{p+1}{2}}$是$x^2\equiv n(mod \ p)$的解
**注意 这里的$a+\sqrt\omega$为数域扩张 类似于模意义下的虚数 要重定义运算法则**
证明 ：
$(a+\sqrt{\omega})^p$在模$p$意义下由二项式展开和卢卡斯定理得$(a+\sqrt{\omega})^p\equiv a^p+{\sqrt{\omega}}^p(mod\ p)$
由引理二可知${\omega}^{\frac{p-1}{2}}\equiv\sqrt{\omega}^{p-1}\equiv-1(mod\ p)$
$\Rightarrow$ ${\sqrt{\omega}}^p\equiv-\sqrt{\omega}(mod\ p)$
由费马小定理可知 $a^p\equiv a(mod\ p)$
所以 $x^2\equiv a^{p+1}+\sqrt{\omega}^{p+1}$
$\equiv (a+\sqrt{\omega})^p(a+\sqrt{\omega})$
$\equiv (a-\sqrt{\omega})(a+\sqrt{\omega})$
$\equiv a^2-\omega(mod\ p)$
所以 $x=(a+\sqrt\omega)^{\frac{p+1}{2}}$是$x^2\equiv n(mod \ p)$的解
因此 由引理一 我们每次在$p$的范围内随机一个$a$就可以找到答案
[P5491 【模板】二次剩余](https://www.luogu.org/problem/P5491)
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll w;
struct num{
ll x,y;
};
num mul(num a,num b,ll p)
{
num ans={0,0};
ans.x=((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p+p)%p;
ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p+p)%p;
return ans;
}
ll powwR(ll a,ll b,ll p){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=1ll*ans%p*a%p;
a=a%p*a%p;
b>>=1;
}
return ans%p;
}
ll powwi(num a,ll b,ll p){
num ans={1,0};
while(b){
if(b&1)ans=mul(ans,a,p);
a=mul(a,a,p);
b>>=1;
}
return ans.x%p;
}
ll solve(ll n,ll p)
{
n%=p;
if(p==2)return n;
if(powwR(n,(p-1)/2,p)==p-1)return -1;//不存在
ll a;
while(1)
{
a=rand()%p;
w=((a*a%p-n)%p+p)%p;
if(powwR(w,(p-1)/2,p)==p-1)break;
}
num x={a,1};
return powwi(x,(p+1)/2,p);
}
int main()
{
srand(time(0));
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
ll n,p;
scanf("%lld%lld",&n,&p);
if(!n){
printf("0\n");continue;
}
ll ans1=solve(n,p),ans2;
if(ans1==-1)printf("Hola!\n");
else
{
ans2=p-ans1;
if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
if(ans1==ans2)printf("%lld\n",ans1);
else printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
}
}
}
```