论尺规作圆内接正五边形

· · 算法·理论

尺规作图

背景

老师让我们出一道和黄金分割有关的题目，出题如下：

已知 \odot O 有两条相互垂直的直径 AB 和 CD，请用无刻度直尺和圆规作过点 A 的圆内接正五边形。

正五边形当然与黄金分割有关啦，(●'◡'●)。

正解

图如下（省略所有字母）：

简证： 不妨设半径为 2，求边长。
最后用特定的三角函数 \sin 36^o = \Large \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}，求得圆心与顶点连线所夹最小角的一半为 36^o，因此得证。

后话

如果你只是为了尺规作图来的，现在可以离开了。

如果你想要挑战自我的话，请继续向下。

单尺作图

Step1 起源

在 CSP-J 2025 中 AK 后，想到能否将上述作图方法转化为单尺？

开始尝试。

Step2 两弧作圆

考虑确定最后两个顶点的两条弧。

我们发现，只需要过一开始的 A 点作关于 OP 的对称点即可。

期望图如下： 最终定稿如下：

具体作法

  1. 利用圆内直角三角形和垂心的性质（见上图红线），任意做一组对应点（见上图红方点）

  2. 利用对称性作图（蓝线）。

  3. 另一点同理。

那么现在恭喜你，已经将这张图优化到两条弧了。

Step3 简化原题

原题给了一组垂径和一个中点。我们不禁要想：

有没有可能将这去掉，只留下一圆一点呢？

可以的兄弟，当然可以。

感谢学校的 xzh 大佬的倾情指导。我们了解到，有方法作出来这些东西。

诸如下图：

Step4 两化一

又两周过后，这两周没什么大的变化。

前面忘了，豆包就是个，后面忘了。

知道配有的一道题给了我启发，换根本思路，做出如下图：

一条弧作法（省略一些不相干线段），将原先的做相等改为做平行（橙线），从而取掉一条线段。然后用惊人的注意力在竖的直径上做出相等的点（黄三角），然后连线做出半径上的关键点（绿菱形），最后做平行即可。

现在，恭喜你，小发明家，你已经发现这道题的单弧做法了！

Step5 单尺

继续优化，我们发现，我们现在做出的弧，无异于做一个直角三角形。

那么哪里有直角三角形呢？圆里！

突发奇想，我们把要做的直角三角形以圆上半径的那个点以 1:2 位似放大，我们突兀地就做完了。

恭喜你，你成功发明了圆内接正五边形的单尺做法！

MVP 结算画面

最终清算：点 \times 58， 线 > 100，绘图用时 15 分钟，总用时 > 1 月。

特别鸣谢：