题解：P14255 列车（train）

zyn0309 · 2025-10-19 18:00:00 · 题解

题目传送门

思路

首先定义 f_i 为第 i 个点往前能直接到达的编号最大的点，容易发现这样第 i 个点往前能直接到的区间就是 [1,f_i]。

操作 1

操作 1 相当于把所有 i \in [x,y] 的 f_i 变为 \min(f_i,x-1)。注意到初始值是 f_i=i，所以每一次操作 1 都不会使得 f_i 小于它前面的 f_j，因此 f 是单调不降的。

这样就可以直接用一棵线段树维护 f 数组了，代码如下：

inline void update(int u,int l,int r,int val){
    if(t[u].maf<=val)return;
    if(l<=t[u].l&&t[u].r<=r){
      if(t[u].mif>=val){
        work(u,val);
        return;
      }
      push_down(u);
      update(lson(u),l,r,val);
      update(rson(u),l,r,val);
      push_up(u);
      return;
    }
    push_down(u);
    int mid=(t[u].l+t[u].r)>>1;
    if(l<=mid)update(lson(u),l,r,val);
    if(r>mid)update(rson(u),l,r,val);
    push_up(u);
}

由于 f 数组的单调性，线段树上的每一层最多只有一个完全被包含的结点向下走，因此单次操作 1 是 O(\log n) 的。

操作 2

对于一个固定的右端点，肯定是贪心选最靠后的左端点优，因此一次查询的答案为 \min_{i=y}^n p_i - p_{\min_{f_i,x}}。

同样根据 f_i 的单调性，可以发现 \min_{f_i,x} 取值为 f_i 的和取值为 x 的都是一段连续的区间，可以直接在线段树上查询，复杂度证明与修改类似，代码如下：

inline int query(int u,int l,int r){
    if(t[u].l>=r){
      if(t[u].maf<=l)return t[u].mi2;
      else if(t[u].mif>=l)return t[u].mi1-p[l];
      push_down(u);
      return min(query(lson(u),l,r),query(rson(u),l,r));
    }
    push_down(u);
    int mid=(t[u].l+t[u].r)>>1;
    if(r<=mid)return min(query(lson(u),l,r),query(rson(u),l,r));
    else return query(rson(u),l,r);
}

时间复杂度 O(T(n+m \log n))。

Code

#include<bits/stdc++.h>
namespace fast_IO{
    #define IOSIZE 100000
        char ibuf[IOSIZE], obuf[IOSIZE], *p1 = ibuf, *p2 = ibuf, *p3 = obuf;
    #define getchar() ((p1==p2)and(p2=(p1=ibuf)+fread(ibuf,1,IOSIZE,stdin),p1==p2)?(EOF):(*p1++))
    #define putchar(x) ((p3==obuf+IOSIZE)&&(fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout),p3=obuf),*p3++=x)
    #define isdigit(ch) (ch>47&&ch<58)
    #define isspace(ch) (ch<33)
        template<typename T> inline T read() { T s = 0; int w = 1; char ch; while (ch = getchar(), !isdigit(ch) and (ch != EOF)) if (ch == '-') w = -1; if (ch == EOF) return false; while (isdigit(ch)) s = s * 10 + ch - 48, ch = getchar(); return s * w; }
        template<typename T> inline bool read(T &s) { s = 0; int w = 1; char ch; while (ch = getchar(), !isdigit(ch) and (ch != EOF)) if (ch == '-') w = -1; if (ch == EOF) return false; while (isdigit(ch)) s = s * 10 + ch - 48, ch = getchar(); return s *= w, true; }
        template<typename T> inline void print(T x) { if (x < 0) putchar('-'), x = -x; if (x > 9) print(x / 10); putchar(x % 10 + 48); }
        inline bool read(char &s) { while (s = getchar(), isspace(s)); return true; }
        inline bool read(char *s) { char ch; while (ch = getchar(), isspace(ch)); if (ch == EOF) return false; while (!isspace(ch)) *s++ = ch, ch = getchar(); *s = '\000'; return true; }
        inline void print(char x) { putchar(x); }
        inline void print(char *x) { while (*x) putchar(*x++); }
        inline void print(const char *x) { for (int i = 0; x[i]; i++) putchar(x[i]); }
        inline bool read(std::string& s) { s = ""; char ch; while (ch = getchar(), isspace(ch)); if (ch == EOF) return false; while (!isspace(ch)) s += ch, ch = getchar(); return true; }
        inline void print(std::string x) { for (int i = 0, n = x.size(); i < n; i++) putchar(x[i]); }
        inline bool read(bool &b) { char ch; while(ch=getchar(), isspace(ch)); b=ch^48; return true; }
        inline void print(bool b) { putchar(b+48); }
        template<typename T, typename... T1> inline int read(T& a, T1&... other) { return read(a) + read(other...); }
        template<typename T, typename... T1> inline void print(T a, T1... other) { print(a), print(other...); }
        struct Fast_IO { ~Fast_IO() { fwrite(obuf, p3 - obuf, 1, stdout); } } io;
        template<typename T> Fast_IO& operator >> (Fast_IO &io, T &b) { return read(b), io; }
        template<typename T> Fast_IO& operator << (Fast_IO &io, T b) { return print(b), io; }
    #define cout io
    #define cin io
}using namespace fast_IO;
using namespace std;
const int N=1e5+10,inf=1e9;
int n,m,p[N];
struct tree{
    int l,r,mi1,mi2,maf,mif,lazy;
    #define lson(u) (u<<1)
    #define rson(u) (u<<1|1)
}t[4*N];
inline void push_up(int u){
    t[u].mi1=min(t[lson(u)].mi1,t[rson(u)].mi1);
    t[u].mi2=min(t[lson(u)].mi2,t[rson(u)].mi2);
    t[u].maf=max(t[lson(u)].maf,t[rson(u)].maf);
    t[u].mif=min(t[lson(u)].mif,t[rson(u)].mif);
}
inline void build(int u,int l,int r){
    t[u].l=l;
    t[u].r=r;
    t[u].mi1=t[u].mi2=0;
    t[u].lazy=-1;
    if(l==r){
      t[u].maf=t[u].mif=l;
      t[u].mi1=p[l];
      t[u].mi2=0;
      return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson(u),l,mid);
    build(rson(u),mid+1,r);
    push_up(u);
}
inline void work(int u,int val){
    t[u].maf=t[u].mif=t[u].lazy=val;
    t[u].mi2=t[u].mi1-p[val];
}
inline void push_down(int u){
    if(t[u].lazy==-1)return;
    work(lson(u),t[u].lazy);
    work(rson(u),t[u].lazy);
    t[u].lazy=-1;
}
inline void update(int u,int l,int r,int val){
    if(t[u].maf<=val)return;
    if(l<=t[u].l&&t[u].r<=r){
      if(t[u].mif>=val){
        work(u,val);
        return;
      }
      push_down(u);
      update(lson(u),l,r,val);
      update(rson(u),l,r,val);
      push_up(u);
      return;
    }
    push_down(u);
    int mid=(t[u].l+t[u].r)>>1;
    if(l<=mid)update(lson(u),l,r,val);
    if(r>mid)update(rson(u),l,r,val);
    push_up(u);
}
inline int query(int u,int l,int r){
    if(t[u].l>=r){
      if(t[u].maf<=l)return t[u].mi2;
      else if(t[u].mif>=l)return t[u].mi1-p[l];
      push_down(u);
      return min(query(lson(u),l,r),query(rson(u),l,r));
    }
    push_down(u);
    int mid=(t[u].l+t[u].r)>>1;
    if(r<=mid)return min(query(lson(u),l,r),query(rson(u),l,r));
    else return query(rson(u),l,r);
}
inline void solve(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>p[i];
    p[0]=-inf;
    build(1,1,n);
    int opt,l,r;
    while(m--){
      cin>>opt>>l>>r;
      if(opt==1)update(1,l,r,l-1);
      else{
        int res=query(1,l,r);
        if(res>inf)cout<<"-1\n";
        else cout<<res<<"\n";
      }
    }
}
signed main(){
    int T=1;
    cin>>T;
    while(T--)solve();
    return 0;
}