题解 P2467 【[SDOI2010]地精部落】

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DP + 滚动数组优化空间

这道题卡了差不多一个上午，思维难度灰常大，代码极简;

题意，求波动数列

首先我们必须要搞清楚3个性质

  • First: 在一个波动数列中，若两个 i 与 i+1 不相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列； 举个栗子： 5 2 3 1 4

4 2 3 1 5

  • Second: 把波动数列中的每个数字Ai 变成 (N+1)-Ai 会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反；

举个栗子： 1 4 2 5 3 （用 6 - 每个数） 1是山谷，4是山峰，后面类推

5 2 4 1 3 这个数列也是波动的 ，且 5是山峰，2是山谷；

  • Third: 波动序列有对称性。 栗子：1 4 2 5 3 to 3 5 2 1 4

这样我们的DP方程可以写成是：DP[I][J]表示 选 1 To I 这些数字，第一个数为山峰（山峰山谷比较形象），且第一个数为 J；

答案就是 ∑ DP[N][j] (j = 1 to N)

如何转移？这里我先上代码；

DP[i][j]=DP[i][j-1]+DP[i-1][i-j+1];

首先，我每次求 j作序列头，且表示山峰

由性质一可知，当j与j-1不相邻的时候，j作为头所有的方案数与j-1作为头的方案数相同，于是就有DP[I][J]=DP[I][J-1];

对于DP[i][j]+=DP[i-1][i+j-1];就是当j 与 j-1相邻时的情况；

**我们可以这么想，我第一个数选择了J 并且定义为山峰，那我第二个数j-1必定为山谷，后面的数属于[1,j-1]和[j+1,i]；

此时问题转化成了求 i-1个数，j-1为头，但是j-1 为山谷的方案数，由性质2可知，j-1作山谷和作山峰的方案数相同；

现在的问题就是，此时的区间和我DP方程的区间意义不同；

没关系；因为山峰与山谷是相对位置关系，将[j+1,i]区间的每个数都减一，这样是不改变相对大小关系的，并且此时就符合我们的方程了；

另外，我DP[i-1][j-1]表示的是J-1为山顶时的个数，为了让其表示J-1为山谷的情况，要改成DP[i-1][(i-1+1)-(j-1)]；

这样就得到了我们的转移方程，我们可以用滚动数组优化空间；

贴代码：

cpp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5005;
int f[2][MAXN]; //f[i][j]表示选前i个数，j是第一个数且为山峰；
int n,mod;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);    
    f[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
       for(int j=2;j<=i;j++){
       f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[(i-1)&1][i-j+1])%mod;}
//f[i][j]=f[i][j-1](把j 与  j-1直接交换掉，且j-1保证为山峰)+f[i-1][(i-1+1)-(j-1)]
//后面的式子表示，去掉 j ，让j-1当数列首位，则j-1保证为山谷，此时我们只构造了j-1为山峰的情况，用i-1+1-(j-1)即可； 
    int ans=0;
    for(int j=2;j<=n;j++){
    ans=(ans+f[n&1][j])%mod;    
    }
    printf("%d",(ans<<1)%mod);

}