题解 P4635 【[SHOI2011]改进代码】
AquaRio
2019-11-21 22:23:20
写在前面：此题数据出锅，详见讨论，请管理员大大修锅。
[博客食用效果更佳](https://aqours.life/index.php/solution-P4635.html)
**[题目传送门](https://www.luogu.org/problem/P4635)**
## Description
给定一个数列，一个模数 $p$ ，你需要实现这些操作：
1. 区间加上一个数。
2. 询问区间 $[l,r]$ 中，相邻的两个数，满足前者大于后者，这样的数对的个数。
在任何时刻，区间内的每一个数都对 $p$ 取模。
$n\leq 10^5 $
## Solution
这题做法很巧妙，观摩了很久才明白怎么做。
我们先把取模放在一边，如何处理区间加？我们想到差分、线段树。
然而线段树并不能很好的解决操作2，区间加的时候万一被取模了，线段树没有办法维护。
所以我们考虑差分。我们处理出差分数组，然后**将差分数组对 $p$ 取模**（负数要化为正数）。
那么 $a[i]-a[i+1]>=1$ **相当于取模之后的差分数组做前缀和的时候发生了“溢出”**。
但是这样的方法还是 $(n^2)$ 的，怎么优化呢？
我们冷静思考发现，当溢出时，前缀和会减少 $p$ ，所以只需维护取模后的差分数组的前缀和，并且要单点修改。那么我们开一个树状数组就解决了。
## Code
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define qaq "Lovely_XianShen"
typedef long long ll;
ll n, m, p;
ll c[100005], del[100005];
inline ll read() {
ll x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
};
while (!(ch < '0' || ch > '9')) {
x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
inline ll lowbit(int x) { return x & (-x); }
inline void add(int x, ll d) {
c[x] += d;
while (x <= n) {
del[x] += d;
x += lowbit(x);
}
}
inline ll sum(int x) {
ll res = 0;
while (x) {
res += del[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int main() {
n = read();
m = read();
p = read();
int last_number = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int now_number = read();
add(i, now_number < last_number ? now_number + p - last_number : now_number - last_number);
last_number = now_number;
}
while (m--) {
// cout<<qaq<<endl;
int opt = read();
if (opt == 1) {
ll l = read(), r = read(), d = read();
add(l, (c[l] + d) % p - c[l]);
if (r <= n - 1)
add(r + 1, ((c[r + 1] - d % p) + p) % p - c[r + 1]);
} else {
ll l = read(), r = read();
printf("%d\n", sum(r) / p - sum(l) / p);
}
}
return 0;
}
```