题解 P3773 【[CTSC2017]吉夫特】

· · 题解

点击就送屠龙刀 个人博客安利

解题思路：B君出的题，不可做

如何判断组合数是否是奇数？

首先，C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}，假设n!的2因子数为a，k!的2因子数是b，(n-k)!的2因子数为c，那么如果C_n^k是奇数，则a=b+c

怎么求出x!的2因子个数呢？首先我们可以将x除以2，相当于一个提取公因数的过程，而那些不能被2整除的项就会被丢掉，于是剩下来的是2*(\frac{x}{2}!)，一直这样处理下去，得到答案为

f(x)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}

我们设g(x)=x，那么g(x)=g(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}+(x\bmod 2)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}+(x在二进制下1的个数） 所以x!的2因子个数就是(x-x在二进制下1的个数)

那么C_n^k是奇数的条件即为：n在二进制下1的个数=k在二进制下1的个数+(n-k)在二进制下1的个数。

假设二进制下，n拥有的某一个1，k并没有，那么：

n: ...0...

k: ...1...

n-k: ...11....

会发现k和(n-k)二进制下1的个数和一定会大于n，所以必须k所有的1 n都拥有才能符合条件，综上，C_n^k是奇数的条件为：(n&k)=k

那么后面的事情就简单了，设f_i表示以a_i开头的子序列个数，用桶存每一个a_i出现的位置i。计算f_i时，考虑下一个放什么，也就是枚举a_i的子集，判断这个数是否在i后面，然后统计方案即可。

复杂度是O(3^{\log maxa})的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
const int N=240000,mod=1000000007;
int a[N],T[N],f[N];
int n,ans;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int main()
{
    n=read();
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),T[a[i]]=i;
    for(RI i=n;i>=1;--i) {
        f[i]=1;
        for(RI j=a[i]&(a[i]-1);j;j=a[i]&(j-1))
            if(T[j]>i) f[i]=qm(f[i]+f[T[j]]);
        ans=qm(ans+f[i]);
    }
    ans=(ans-n+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}