TRICENTR - Triangle From Centroid 题解

GoldenCreeper · 2023-02-12 15:49:05 · 题解

要看懂这篇题解，需要了解以下数学知识：

勾股定理：a^{2} + b^{2} = c^{2}。其中：a,b 为直角三角形的两条直角边，c 为直角三角形斜边。
海伦公式：S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}。其中：p = \frac{a + b + c}{2}，a,b,c 为三角形三边长，S 为三角形面积。
两点坐标距离公式：d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}。其中：(x_1, y_1) 和 (x_2, y_2) 分别代表两点的坐标，d 代表两点之间的距离。
三角形重心公式：
G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)

其中 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) 分别是三角形三个顶点的坐标。

首先，对于三角形的面积，我们可以使用海伦公式求解：

double calc_area(double a, double l, double m, double n)
{
    double b = a * l / m;
    double c = a * l / n;
    double p = (a + b + c) / 2;
    return sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c));
}

然后，我们使用 calc_distance 函数来计算重心与垂心的距离，需要一下几步：

计算出三角形的三边长：b = \frac{a \cdot l}{m}，c = \frac{a \cdot l}{n}。
使用勾股定理，求出三角形的垂心的横坐标：xa = \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} - 9 \cdot l^2}（此公式的证明可以看补充证明）。如果 a^2 + b^2 - c^2 < 0，则 xa = -xa。
计算出三角形的重心的横坐标：xg = \frac{a}{3} + \frac{xa}{3}。
计算出三角形的重心的纵坐标：yg = \frac{a \cdot xa - xa^2}{3 \cdot l}。
使用两点坐标距离公式，求出重心坐标和垂心坐标之间的距离：d = \sqrt{(xg - xa)^2 + (l - yg)^2}。

double calc_distance(double a, double l, double m, double n)
{
    double b = a * l / m;
    double c = a * l / n;

    double xa = sqrt(a * a * l * l / m / m - 9 * l * l);
    if (a * a + b * b - c * c < 0)
        xa = -xa;
    double xg = a / 3 + xa / 3, yg = (a * xa - xa * xa) / 3 / l;
    return sqrt((xg - xa) * (xg - xa) + (l - yg) * (l - yg));
}

补充证明：xa = \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} - 9 \cdot l^2}。

三角形的底边为 a，高为 h，斜边为 b。那么三角形的重心 G 到三角形的底边上的任意一点 A 的距离为 h。

现在，我们考虑一个点 A 到 G 的垂线，令该垂线与三角形底边的交点为 X，则 XA 为 h。那么，通过勾股定理可以得到：\frac{a^2}{h^2} + \frac{(xa - l)^2}{h^2} = \frac{b^2}{h^2}。

将 h^2 代入：

\frac{a^2}{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2}} + \frac{(xa - l)^2}{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2}} = \frac{b^2}{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2}}

移项：

\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} + (xa - l)^2 = b^2

用三角形的三边长关系：

\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} + (xa - l)^2 = \frac{a^2 \cdot l^2}{n^2}

移项：

(xa - l)^2 = \frac{a^2 \cdot l^2}{n^2} - \frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} = \frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} \cdot \frac{n^2 - m^2}{n^2}

因为 n^2 > m^2，所以 (xa - l)^2 > 0，可以得出：

xa - l = \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} \cdot \frac{n^2 - m^2}{n^2}}

因此：

xa = \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} - (l - \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} \cdot \frac{n^2 - m^2}{n^2}})^2} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot l^2}{m^2} - 9 \cdot l^2}

最后附上完整代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi = acos(-1);

double a, l, m, n;

double calc_area(double a, double l, double m, double n)
{
    double b = a * l / m;
    double c = a * l / n;
    double p = (a + b + c) / 2;
    return sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c));
}

double calc_distance(double a, double l, double m, double n)
{
    double b = a * l / m;
    double c = a * l / n;

    double xa = sqrt(a * a * l * l / m / m - 9 * l * l);
    if (a * a + b * b - c * c < 0)
        xa = -xa;
    double xg = a / 3 + xa / 3, yg = (a * xa - xa * xa) / 3 / l;
    return sqrt((xg - xa) * (xg - xa) + (l - yg) * (l - yg));
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cin >> a >> l >> m >> n;
        cout << fixed << setprecision(3) << calc_area(a, l, m, n) << " " << calc_distance(a, l, m, n) << endl;
    }
    return 0;
}