说起来，不知道你是否知道，\Z^n 其实是「自由[^36]」Abel 群的呢。（每个自由 Abel 群都同构于若干 \Z 的直和，不过也可以是无限个来着……）虽然不像自由群那样完全不受束缚，但 Abel 性反而使其结构更加清爽了[^37]——正因此比起自由群，矩阵群更喜欢自由 Abel 群的呢。听说每个自由 Abel 群，都可以别的 Abel 群，产生共鸣，特别是存在一组生成元[^4]数量不超过其基[^36]的大小的群呢[^38]。对矩阵群来说，就是有一种知心大姐姐的形象呢。矩阵群有时也会羡慕这点的呐。
……但是比起「自由」，拥有自己独特的结构，其实才是矩阵群真正想要的东西呢。
说到 Abel 群，大家都喜欢说“加法”不是“乘法”呢。那就再来说点普通的加法群[^17]吧！比如 \mathbb Q（有理数）、\mathbb R（实数）、\mathbb C（复数[^23]）什么的。从小学，到初中，再到高中等等，比起抽象的符号，「数」大概是初学数学时的你会更熟悉、更喜欢的东西吧？不过如果只是加法群的话，\mathbb C 也不过就是 \mathbb R^2 了啦……啊，那就把 \mathbb R^n 也带进来吧。实数的向量，应该也见了不少的吧？现在的你应该就生活在 \mathbb R^3——如果算上时间维度，那就是 \mathbb R^4——的世界里吧。不过这个世界的生活中，\mathbb R 大概也没有展现它的全貌吧——毕竟现实中的测量精度是有上限的啦。
作为可除[^39]、无挠[^40]的 Abel 群，这些加法群都可以看作是 \mathbb Q 上的线性空间[^24]呢[^18][^41]……诶，那你可能会问， \mathbb R 和 \mathbb R^n 还有什么区别，都是 \mathbb Q 上 \mathfrak c[^42] 维[^27]的线性空间，随便找个基[^27]的一一对应就可以构造同构^5了来着？好吧这个其实是依赖于选择公理[^30]来着的，Ha 基 mel[^27]你这家伙……[^26]这也是一方面为什么 \mathbb R 总是有一种神秘感呢。不过虽然说 \mathbb R 也因此比较内向，不过和真正聊得来的关系也不错呢。什么你问矩阵群是怎么知道的喵？因为向 GL(n,\mathbb R)[^43]们问过关于 \mathbb R 的事情了啦。相比之下，\mathbb Q 就很自来熟的呢……
[^1]: Abel 群（Abelian group）是指对于任意二元素 a,b，都满足交换律，即 ab=ba 的群[^2]。有时 Abel 群的乘法可以称为加法，记作 +，单位元记作 0，逆元称作相反元，记作 -a。
[^2]: 群（group）是一种代数结构，是附有一个二元运算 \cdot 的集合 S，满足 S 关于 \cdot 封闭，\cdot 在 S 上满足结合律，存在（左和右的）单位元，且每个元素均有（左和右的）逆元。形式化的，\cdot 是一个 S^2\to S 的映射，且存在元素 e\in S 和映射 S\to S:a\mapsto a^{-1} 满足对于任意 a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)，e\cdot a=a\cdot e=a，a\cdot a^{-1} =a^{-1}\cdot a=e。若无歧义，群 (S,\cdot) 可以记作 S，a\cdot b 可以记作 ab，单位元 e 可以记作 1。
[^3]: 循环群（cyclic group）是指由一个元素即可生成[^4]的群。循环群分为有限循环群和无限循环群。有限循环群必然同构^5于 \Z/n\Z（即整数在模 n 意义下加法组成的群），n 是循环群的大小。n 阶循环群可以记作 C_n。无限循环群必然同构于整数加法群 \Z。
[^4]: 一个群 G 的一组生成元（generators） \{g_i\} 是指满足可以使用 \{g_i\} 的有限次乘法和逆元得到群 G 中的所有元素的一组元素。若 \{g_i\} 是 G 的一组生成元，称 G 被 \{g_i\} 生成（generate)。 一个群可以用它的生成元和生成元之间的关系展示，称其为一个群展示（group presentation）。例如，n 阶循环群[^3] C_n 的一个展示为 \langle g|g^n=1 \rangle。
[^6]: 对于两个代数结构 G,H，一个映射 f:G\to H 被称为一个同态（homomorphism）当且仅当 f 保持了对应代数结构的运算结构。例如，如果 G,H 是群，那么这个条件是对于任意 u,v\in G，f(uv)=f(u)f(v)。
[^7]: 一个群被称作是有限生成群（finite generated group），当且仅当其存在一组有限的生成元[^4]。
[^8]: 一些群 \{G_i\} 的直积（direct product）是在其 Descartes 积[^9]上以逐个相乘为运算得到的群。例如，根据中国剩余定理，对于互质的正整数 n,m，n 阶循环群[^3]和 m 阶循环群的直积同构于 nm 阶循环群。直积可以用 \times 表示，n 个 G 的直积可以用 G^n 表示。
[^9]: 一些集合的 Descartes 积（Cartesian product）是所有从每个集合选一个元素得到的元组组成的集合。例如，两个 \{0,1\} 的 Descartes 积为 \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}。
[^10]: 此定理被称作「有限生成 Abel 群分类定理」。事实上，根据中国剩余定理，循环群[^3]可以进一步拆解为素数幂阶循环群的直积[^8]，而素数阶循环群无法进一步拆分。这样拆分成素数幂阶循环群的本质不同分解的是唯一的。进一步地，素数阶循环群是单群[^11]，这也是下文「素数幂阶循环群，更特别是素数阶循环群，会更加知名」的原因。
[^11]: 单群（simple group）指正规子群[^12]有且仅有平凡群（仅由单位元组成的群）和其本身的群。
[^12]: 一个群 G 的子群[^13] H 被称为一个正规子群（normal subgroup）当且仅当对于任何 g\in G,h\in H 有 ghg^{-1}\in H。
[^13]: 若一个群的子集在相同的运算下仍然是一个群，则这个群是其一个子群（subgroup）。例如，4 阶循环群 C_4=\{1,g,g^2,g^3\}(g^4=1) 的子群有平凡子群 \{1\}、\{1,g^2\} 和它本身。
[^13.2]: 某个世界：指 OI。
[^14]: Galois 域[^15]的乘法群[^17]必然是循环群[^3]。因此 \Z/1\,048\,575\Z 就同构于下文提到的 \mathbb F_{2^{20}} 的乘法群。这个定理的一个特例是模素数总是存在原根。
[^15]: Galois 域（Galois field)，亦称有限域（finite field)，指元素个数有限的域[^16]。例如，对于素数 p，0\sim p-1 模 p 意义下的运算构成了有限域 \mathbb F_p。Galois 域的元素个数必然是素数幂，且每个素数幂都对应一个互不同构^5的 Galois 域。记 p^k 个元素的 Galois 域为 \mathbb F_{p^k} 或 GF(p^k)。
[^16]: 域（field）是一个代数结构，是附有 +,\times（加法、乘法）两个运算的集合 S，满足 S 在加法运算下构成一个 Abel 群[^1]（记其单位元为 0），S 的非 0 元素在乘法运算下构成一个 Abel 群（记其单位元为 1），且满足乘法分配律（即，任何 a,b,c\in S，有 (a+b)\times c=a\times c+b\times c）。若无歧义，a\times b 也可以记作 ab 或 a\cdot b。例如，有理数集 \mathbb Q，实数集 \mathbb R，复数集 \mathbb C 在一般的加法、乘法运算下都是域。
[^17]: 一个域的加法群（additive group）是其在其加法运算下组成的群，其乘法群（multiplicative group）是其非零元素在其乘法运算下组成的群。
[^18]: 域的加法群可以看作其素域[^19]上的线性空间。对于有限域，这个线性空间必然同构于 (\Z/p\Z)^k。
[^19]: 没有真子域[^20]的域被称为素域（prime field）。每个可能的特征[^21]都恰有一个素域：特征为 p 的素域就是模 p 运算组成的 Galois 域[^15] \mathbb F_p，而特征为 0 的素域就是有理数域 \mathbb Q。每个域都恰有一个相同特征的子域为一个素域。
[^20]: 若一个域的子集在相同的运算下仍然是一个域，则这个域是其一个子域（subfield）。非自身的子域被称为真子域（proper subfield）。
[^21]: 一个域的特征为最小的正整数 n，满足 n 个 1 相加等于 0。特别的，若不存在，则特征为 0。可以证明，若特征不为 0，则特征必然是素数。
[^22]: 初等 Abel 群（elementary Abelian group）是满足所有非单位元的阶（order）都是同一个有限值的 Abel 群[^1]。这个阶一定是素数，设其为 p，其又可以称作为初等 Abel-p 群。它可以看作 \mathbb F_p[^15] 上的线性空间[^24]，进而如果只考虑有限情况或承认选择公理[^30]，可以写成若干循环群的直和[^25][^26]。特别的，有限情况下直和等价于直积[^8]，即有限初等 Abel p-群必然同构于某个 p 阶循环群[^3]在直积意义下的 k 次方。
[^23]: 复数（complex number）是形如 z=a+b\mathrm i 的数，其中 a,b 是实数，\mathrm i 满足 \mathrm i^2=-1。a,b 分别称为 z 的实部和虚部，分别记作 \mathbb Re(z) 和 \Im(z)。复数集记作 \mathbb C。复数 z=a+b\mathrm i 的共轭（complex conjuate），记作 \overline z，等于 a-b\mathrm i。复数 z=a+b\mathrm i 的模长（complex modulus）为 \sqrt{a^2+b^2}，记作 |z|，而非零复数 z 的幅角（complex argument） \arg z 定义为满足 |z|\cos \theta=\mathbb Re(z),|z|\sin \theta=\Im(z)，它一定存在，并且在差 2\pi 的整数倍的意义下唯一。一个复数和它的共轭的和与积都是实数。
[^24]: 一个域[^16] \mathbb F上的一个附有了加法（+:V^2\to V）和数乘（\cdot:\mathbb F\times V\to V）运算的集合 V 是一个线性空间（linear space），亦称向量空间（vector space），当且仅当 V 的加法构成了一个 Abel 群[^1]（记单位元为 \mathbf{0}），且对于任何 p,q\in\mathbb F，X,Y\in V，有 p(qX)=(pq)X,p(X+Y)=pX+pY,(p+q)X=pX+qX,1X=X。
[^25]: 一些群的直和（direct sum）类似于直积[^8]，但是只能从有限个群里选择非单位元的元素。在有限个集合的情况下直和等价于直积。
[^26]: 任何线性空间都有一组 Hamel 基[^27]，但是无限维的情况需要通过选择公理[^30]证明。进一步地，在 ZF[^31] 中，「任何线性空间都有 Hamel 基」等价于选择公理。
[^27]: 线性空间的一组 Hamel 基（Hamel basis）是它的一个子集，满足该子集线性无关[^28]，且该线性空间里的所有元素都可以写成其中有限个元素的线性组合[^29]。如果承认选择公理[^30]，那么任何线性空间都有一组 Hamel 基[^26]，且所有 Hamel 基都等势，这个势被称为该线性空间的维数（dimension）。例如，OI 中说的「线性基」就是以异或为加法，在 \mathbb F_2[^15] 上的线性空间的 Hamel 基。
[^28]: 一个线性空间的一个子集是线性无关的（linear independent），当且仅当其任意有限个元素在对应域上的线性组合[^29]为零当且仅当所有系数为零。否则称该子集为线性相关的（linear dependent）。
[^29]: 一些元素 a_1,a_2,\cdots,a_n 以一个集合中的系数 b_1,b_2,\cdots,b_n 的线性组合（linear combination）为 \sum a_ib_i。
[^30]: 选择公理（axiom of choice）是 ZFC 集合论[^31]中的一条公理，符合直觉，可以简化很多证明，但是可以推导出一些不符合直觉的结论，如分球怪论。
[^31]: Zermelo-Fraenkel 集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），简称 ZF，是一种公理化集合论。其加上选择公理[^30]组成的 ZFC 集合论是现代数学的基石。
[^32]: 对于同一个域 \mathbb F 上的线性空间 V,W，一个线性变换（linear transformation）是指映射 f:V\to W，满足线性性：对于任意 u,v\in V,a\in \mathbb F，有 f(u+v)=f(u)+f(v)，f(au)=af(u)。
[^34]: n 维无限大网格随机游走对于 n\le 2 是常返的（可知，走到任何一点的概率都是 1），但是对于 n\ge 3 不是。对于 n=3，回到原点的概率约为 34\%。
[^35]: 格（lattice）是一些 n 维实向量的线性组合[^29]组成的集合，在密码学领域有很大应用。
[^36]: 自由 Abel 群（free Abelian group），通俗地说，可以由一组元素 S 生成[^4]，除了交换律没有其它任何特殊性质。这组元素 S 被称为这个自由 Abel 群的一组基（basis）。
[^37]: 自由 Abel 群可以看作是若干整数加法群 \Z 的直和 \Z^{(S)}。自由 Abel 群的任何元素有且仅有一种方式表为有限个基的整系数线性组合。而自由群没有简单的结构刻画。
[^38]: 指自由 Abel 群的泛性质（万有性质，universal property）：设映射 f:S\to G，G 是一 Abel 群。那么存在唯一的群同态[^6] f' 满足对于任意 a\in S 有 f(a)=f'(a)。特别的，取 f 为 S 与 G 的一组生成元双射，则 f' 为该自由 Abel 群到 G 的满射（即，所有元素群可被取到）。
[^39]: 一个 Abel 群[^1] G 是可除群（divisible group）当且仅当对于任意正整数 n，任意元素 g\in G，都存在元素 g'\in G 满足 ng'=g（n 个 g' 相加等于 g）。
[^40]: 一个群[^2]的挠元（torsion elements）是所有阶^13.1有限的元素。如果一个群的挠元只有单位元，称其为一无挠群（torsion-free group）。
[^41]: 根据定义不难验证，一个可除、无挠的 Abel 群可以看作为 \mathbb Q 上的一个线性空间。
[^42]: \mathfrak c 表示连续统（continuum）基数，即实数集 \mathbb R 的大小。
[^43]: 对于正整数 n 和域[^16] \mathbb F，\mathbb F 上的 n 阶一般线性群（general linear group）是所有 \mathbb F 上的 n 阶可逆[^44]方阵[^45]以矩阵乘法为运算组成的群，记作 GL(n,\mathbb F)。更一般的，对于（可以是无限维的）线性空间[^24] V，其到自身的可逆线性变换[^32]在复合下组成的群，记作 GL(V)，称为 V 上的一般线性群。因为矩阵可以看作线性变换，前者实际上是后者的特例。
[^44]: 一个方阵[^45] A 是可逆的（invertible）当且仅当存在 B 满足 AB=BA=I，其中 I 是单位矩阵。若 B 存在则必然唯一，这个 B 称为 A 的逆（inverse），记作 A^{-1}。
[^45]: 一个方阵（square matrix）是一个行数和列数相等的矩阵[^46]。n 行 n 列的方阵称为 n 阶方阵。
[^46]: 一个矩阵（matrix）是由 n 行 m 列的数组成的数阵，称作一个 n\times m 矩阵。矩阵的加法定义为逐个相加，而 n\times m 矩阵 A 和 m\times k 矩阵 B 的乘积定义为 n\times k 矩阵 C，满足第 i 行第 j 列的元素 C_{i,j}=\sum\limits_{\ell=1}^m A_{i,\ell}B_{\ell,m}。矩阵乘法满足结合律，但是不满足交换律。n\times m 的矩阵 A 的转置（transpose） A^T 是一个 m\times n 矩阵，满足它的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第 i 列。n\times n 的单位矩阵（identity matrix）是对角线上是 1，其它地方都是 0 的矩阵，记作 I_n，若无歧义可以记作 I。对于任意矩阵，其左乘、右乘合适大小的单位矩阵都不变。向量可以看作一行或一列的矩阵，矩阵按照对向量的乘法可以看作线性变换[^32]。
[^47]: 对于正整数 n，（对于实数）n 维特殊正交群（special orthogonal group）是所有 n 阶的行列式[^48]为 1 的实正交[^50]方阵 A 以矩阵乘法为运算组成的群，记作 SO(n)。可以简单理解成 n 维空间中旋转组成的群。
[^48]: 一个 n 阶方阵 A 的行列式（determinant） \det A 定义为对于所有 n 阶排列 \pi，\prod A_{i,\pi_i} 乘上 (-1)^{\tau(\pi)} 的和，其中 \tau(\pi) 表示 \pi 的逆序对[^49]数量。
[^49]: 一个排列 \pi 的一个逆序对（inversion）是指 (i,j) 满足 i<j 且 \pi_i>\pi_j。
[^50]: 一个可逆方阵 A 是正交的（orthogonal）当且仅当其逆等于其转置。
[^51]: 对于正整数 n，n 阶酉群（unitary group）是所有 n 阶酉矩阵[^52]在矩阵乘法下组成的群。1 阶酉群就是圆群[^54]。（如果认为 1 阶方阵就是它的元素）
[^52]: 一个可逆复方阵 A 是酉的（unitary），当且仅当它的共轭转置[^53]等于它的逆矩阵。
[^53]: 一个复矩阵的共轭转置（conjugate transpose）定义为它的转置的每个元素取共轭[^23]的结果。
[^54]: 圆群（circle group）是所有模长[^23]为 1 的复数以乘法为运算组成的群。
[^55]: 一个群表示[^56]是不可约的（irreducible）当且仅当其不变子空间^57要么是 \{\mathbf 0\}，要么是其本身。
[^56]: 一个群的表示（representation）是一个群到一个一般线性群[^43]的同态[^6]。特别的，对于有限维的情况，可以理解成将群元素写成（可以相同的）n 阶矩阵（看作对 n 维向量的变换），使得群元素的乘法对应了矩阵乘法。这个线性空间的维数/方阵的阶被称为这个表示的维数（dimension）。