题解 P3311 【[SDOI2014]数数】

George1123 · 2020-02-11 21:21:24 · 题解

博客中看：题解-[SDOI2014]数数

[SDOI2014]数数

这题的前置知识是AC自动机和dp，前置题目是 [JSOI2007]文本生成器，前置题目我写的题解 题解-[JSOI2007]文本生成器。我的讲解假设你做过上面那道题。

这题比上面那题多个条件，我因此多调了 3 个小时。多的条件：答案要不大于整数 n。所以AC自动机部分同上，改变dp部分。

解：dp[i][j][k] 表示文本串（幸运数）长度为 i，结尾是AC自动机上的节点 j，k 表示这个文本串下一个字符是否受 n 某个数位大小的限制（如果受限制，k=1；否则，k=0）。mk[i] 表示 i 这个AC自动机上节点是否为某个不幸运的数结尾。

仔细读题会发现：模式串中含有 0 前置，而文本串不能以 0 开头。所以有（所有数组下标从 1 开始，1\le n[1]\le 9，因为 ch[1][i] 会有重复所以用 ++ 而非 =1）：

dp[1][ch[1][i]][0]++(1\le i<n[1],mk[ch[1][i]]!=1)

然后如果上式 i 取 n[1]，那么这个字符串的下一位就会受到 n[2] 大小的限制，所以有：

dp[1][ch[1][n[1]]][1]++(mk[ch[1][n[1]]]!=1)

综上，有代码：

for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
    if(!mk[ch[1][i]])//不能选到不幸运的子串
        (f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod; //Orz

为了避免算上首位为 0 的文本串，上面的代码没有 dp[1][ch[1][0]][0]++。为了计算那些位数小于 n 的文本串，则有：

dp[i][ch[1][j]][0]++(2\le i\le \texttt{length of }n,1\le j\le 9,mk[ch[1][j]]!=1)

为了防止 \color{#333399}\texttt{MLE}，dp用滚动数组，所以有代码：

for(int i=2;i<=m;i++){
    memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);//滚动数组必须清空
    for(int j=1;j<=9;j++)
        if(!mk[ch[1][j]])
            (f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;//Orz

初始化完了，重点就来了——递推公式。如果某个文本串合法，那么在它后面加一个字符，如果这个文本串还是 \le n ，并且不包含不幸运的子串，那么它就是合法的。

转化为dp递推式（cnt 表示AC自动机节点个数）：

dp[i][ch[j][k]][0]+=dp[i-1][j][0]

(1\le i\le\texttt{length of }n,1\le j\le cnt,mk[ch[j][k]]!=1,\color{red}0\color{black}\le k\le 9)

这里是递推，所以这就相当于在求一个数中间的一个数位，所以可以取 0

dp[i][ch[j][k]][0]+=dp[i-1][j][1]

(1\le i\le\texttt{length of }n,1\le j\le cnt,mk[ch[j][k]]!=1,\color{red}0\le k<n[i]\color{black})

除非取的文本串对 n 位位紧逼，要不然下一位就不受 n 数位大小的限制。

dp[i][ch[j][n[i]]][1]+=dp[i-1][j][1]

(1\le i\le\texttt{length of }n,1\le j\le cnt,mk[ch[j][n[i]]]!=1)

取的文本串对 n 位位紧逼。

代码：

for(int j=1;j<=cnt;j++){
    if(mk[j]) continue;
    if(f[(i-1)&1][j][0])
        for(int c=0;c<=9;c++)
            if(!mk[ch[j][c]])
                (f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
    if(f[(i-1)&1][j][1])
        for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
            if(!mk[ch[j][c]])
                (f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
}

最后答案为 ans，就有：

ans=\sum\limits ^{cnt}_{i=1}dp[\texttt{length of }n][i][0]+dp[\texttt{length of }n][i][1]

如果你懂了，蒟蒻就放dp代码了：

void dp(){
    for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
        if(!mk[ch[1][i]])
            (f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod; //Orz
    for(int i=2;i<=m;i++){
        memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);
        for(int j=1;j<=9;j++)
            if(!mk[ch[1][j]])
                (f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;//Orz
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(mk[j]) continue;
            if(f[(i-1)&1][j][0])
                for(int c=0;c<=9;c++)
                    if(!mk[ch[j][c]])
                        (f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
            if(f[(i-1)&1][j][1])
                for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
                    if(!mk[ch[j][c]])
                        (f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(!mk[i]) (((ans+=f[m&1][i][0])%=mod)+=f[m&1][i][1])%=mod;
}

整体代码（dp+AC自动机）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1210;
const int L=1510;
const int mod=1e9+7;
class Trie{
public:
    int ch[L][10],cnt;
    bool mk[L];
    Trie(){cnt=1;}
    void insert(char*s){
        int n_junior=strlen(s+1),p=1;
        for(int i=1;i<=n_junior;i++){
            int c=s[i]-'0';
            if(!ch[p][c]) ch[p][c]=++cnt;
            p=ch[p][c];
        }
        mk[p]=1;
    }
};
int n,m,f[2][L][2],ans;
char w[M],s[L];
class Acam:public Trie{
public:
    int fa[L];
    void build(){
        for(int i=0;i<=9;i++) ch[0][i]=1;
        queue<int> q;
        while(q.size()) q.pop(); //我因为没清零WA了5次
        q.push(1);
        while(q.size()){
            int x=q.front();q.pop();
            mk[x]|=mk[fa[x]];
            for(int c=0;c<=9;c++)
                if(ch[x][c]){
                    fa[ch[x][c]]=ch[fa[x]][c];
                    q.push(ch[x][c]);
                } else ch[x][c]=ch[fa[x]][c];
        }
    }
    void dp(){
        for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
            if(!mk[ch[1][i]])
                (f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod;
        for(int i=2;i<=m;i++){
            memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);
            for(int j=1;j<=9;j++)
                if(!mk[ch[1][j]])
                    (f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;
            for(int j=1;j<=cnt;j++){
                if(mk[j]) continue;
                if(f[(i-1)&1][j][0])
                    for(int c=0;c<=9;c++)
                        if(!mk[ch[j][c]])
                            (f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
                if(f[(i-1)&1][j][1])
                    for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
                        if(!mk[ch[j][c]])
                            (f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
            }
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
            if(!mk[i]) (((ans+=f[m&1][i][0])%=mod)+=f[m&1][i][1])%=mod;
    }
}t;
int main(){
    scanf("%s\n%d",w+1,&n),m=strlen(w+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%s",s+1),t.insert(s);
    t.build(); t.dp();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

祝大家学习愉快！