矩阵求逆 —— 初等变换法（高斯-约旦消元）

· · 题解

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P4783 【模板】矩阵求逆

题目描述

求一个N×N的矩阵的逆矩阵。答案对10^9+7取模。

1.逆矩阵的定义

假设 A 是一个方阵，如果存在一个矩阵 A^{-1}，使得

A^{-1}A=I

并且

AA^{-1}=I

那么，矩阵 A 就是可逆的，A^{-1} 称为 A 的逆矩阵

2.逆矩阵求法 —— 初等变换法（高斯-约旦消元）

0.高斯-约旦消元

详见 P3389 【模板】高斯消元法 题解部分

高斯约旦消元与高斯消元区别：

高斯消元 -> 消成上三角矩阵 

高斯-约旦消元 -> 消成对角矩阵

约旦消元法的精度更好,代码更简单,没有回带的过程 

void Gauss_jordan(){
    /***** 行的交换&加减消元 *****/ 
    for(re int i=1,r;i<=n;++i){ //正在处理第i行 
        r=i;
        for(re int j=i+1;j<=n;++j) 
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
        if(fabs(a[r][i])<eps){
            puts("No Solution");return;
        }
        if(i!=r) swap(a[i],a[r]);

        for(re int k=1;k<=n;++k){
        //每一行都处理  
            if(k==i) continue;
            double p=a[k][i]/a[i][i];
            for(re int j=i;j<=n+1;++j) a[k][j]-=p*a[i][j];
        } 
    }   

    //上述操作后会剩下对角矩阵,答案要除以系数    
    for(re int i=1;i<=n;++i) printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
}

1.矩阵求逆

思路

原理

A^{-1} * [AI] = [I A^{-1}]

举个栗子

求

\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & -1 \\0 & -1 & 2\end{bmatrix}

首先

\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

对左边进行消元可得

\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} &\frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix}

此时已消成上三角矩阵，高斯消元开始回代，但约旦会消成对角矩阵

\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1\end{bmatrix}

最后每行除以系数

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}

此时右半边即为所求

2.细节

  1. 开long long（不要冒风险，乘法很容易溢出）
  2. 模意义下除以一个数等于乘上逆元，可用快速幂求逆元（费马小定理）
Code 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;

il ll read(){
    ll s=0,f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^'0'),c=getchar();
    return f?-s:s;
}

const int N=405,mod=1e9+7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k){
    ll ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

il void Gauss_j(){  
    for(re int i=1,r;i<=n;++i){
        r=i;
        for(re int j=i+1;j<=n;++j)
            if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
        if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
        if(!a[i][i]){puts("No Solution");return;}

        int kk=qpow(a[i][i],mod-2); //求逆元 
        for(re int k=1;k<=n;++k){
            if(k==i) continue;
            int p=a[k][i]*kk%mod;
            for(re int j=i;j<=(n<<1);++j) 
                a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
        } 

        for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
        //更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里  
    }   

    for(re int i=1;i<=n;++i){
        for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
        printf("%lld\n",a[i][n<<1]);
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
        for(re int j=1;j<=n;++j)
            a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;

    Gauss_j();
    return 0;
}

网上浏览一圈头都要炸掉，线性代数太可怕了，定义好多

最后只看懂了这种方法

有什么问题欢迎评论区指出 ：）

参考文章

线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)