题解 P3800 【Power收集】
灵乌路空
2019-07-15 21:30:41
先无良宣传一下博客 $wwwwww$
[文章列表 - 核融合炉心 - 洛谷博客](https://www.luogu.org/blog/koishikoishi/)
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## 知识点 : $DP$ 优化 , 单调队列
- ### 题意:
有一个 $(N\times M)$ 大小的矩阵
部分矩阵中的点 **带有价值**
可以选择第一行 , 任何一个位置作为起点 .
对于当前的位置 $(i,j)\ $ (表示在第 $i$ 行第 $j$ 列)
可以转移到: $(i+1,\ [j-T , j+T]\ )$ 中任意一个点 $(j-T>0\ ,\ j+t\leqslant M)$
并且获得当前所在点的价值 .
**求** : 可以取得的 最大价值和
样例解释:
![样例](https://i.loli.net/2019/07/15/5d2c6d5de7de334156.jpg)
1.灵梦从 $(1,1)$出发 : 总价值$+3$ , 现在为 $3$
2.灵梦转移到 $(2,2)$ : 总价值$+3$ ,现在为 $6$
3.灵梦转移到 $(3,3)$ : 总价值$+3$ ,现在为 $9$
故 , 总价值为 $9$
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- ### 分析题意:
很显然 这是一道 $DP$
状态转移方程 极其简单 :
用 $f[i][j]$ 表示在点 $(i,j)$ 能到达的最大价值和 ,
则有: $f[i][j] = max(f[i-1][k]) + v[i][j]\ ,\ (k\in [j-T , j+T]\ )$
- 暴力:
直接枚举所有点 , 再枚举能转移到他的点 ?
复杂度 $O(N^3)$ 级别 ,
$40Pts$ 到手
考虑优化 :
- 可知:
第 $i$ 行上点的 $f[][]$ , 只与第 $i-1$ 行有关
则可将每相邻的两行 , 单独拆分出来考虑 :
如图:
![滑动窗口](https://i.loli.net/2019/07/15/5d2c766d490dc15943.jpg)
可以发现 :
1. 转移到 点$(i,j)$ 的点 ,
为 $i-1$ 行 , 区间 $\underline{[j-T,j+T]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点
2. 转移到 点$(i,j+1)$ 的点 ,
为 $i-1$ 行 ,区间 $\underline{[j-T+1,j+T+1]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点
3. 转移到 点$(i,j+2)$ 的点 ,
为 $i-1$ 行 ,区间 $\underline{[j-T+2,j+T+2]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点
后两个区间 ,
都可以通过 上一个区间 **右移一个单位** 得到
这不禁让我们想到了另一道题 : [P1886 滑动窗口](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1886)
如果您还未学习过单调队列 , 推荐这篇文章:
[【洛谷日报#9】 [Sweetlemon] 朝花中学OI队的奋斗历程——浅谈单调队列](https://sweetlemon.blog.luogu.org/dan-diao-dui-lie)
这种 **滑动窗口型** 最值问题 ,
显然 , 可以通过 单调队列 来进行维护 .
由上 , 我们便找到了一种合适 $DP$ 优化方法: 单调队列优化.
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- ### 算法实现:
假设,现在已经更新到第 $i$ 行 :
1. 先初始化单调队列 ,
将能够更新 $(i,1)$ 的点$(i,k) , (k \in [1,1+T])$ ,
加入单调队列
2. 开始循环 , 更新 $[1,M]$ 中每一个点 :
- 将能够转移到 $j$ 的最右侧一个点 $(i-1 , j+T)$ , 加入队列
- 使用单调队列找到能够转移到 $j$ 的点的最大$f[][]$
- 用最大的$f[][]$ 更新 $f[i][j]$
3. **清空单调队列** , 外层循环进入下一层 ,更新第 $i+1$ 行
最后找到最后一行中 ,
最大的 $f[N][j]$ ,
即所求最值 .
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上代码:
由于使用了手写数组模拟队列 ,
清空时只需重置头尾指针 , 及队首元素即可 .
常数吊打 $deque$
```cpp
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
#define int long long
#define max(a,b) a>b?a:b
//=====================================
const int MARX = 4e3+10;
int n,m,k,t, now,ans;
int f[MARX][MARX];
int head=1,tail=1;//手写双端队列
int q[MARX]={9223372036854775807};//为q[0]赋一个极大值,来防止插入元素时越界
//=====================================
inline int read()
{
int fl=1,w=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
if(ch=='-') fl=-1;
while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
return fl*w;
}
void in(int x)//向单调队列中插入元素
{
while(f[now-1][x]>f[now-1][q[tail]] && tail>=head)
tail--;//取出队尾小于插入元素的数 , 以保证单调性
q[++tail]=x;//插入队尾
}
int find(int x)//查询元素
{
if(x+t<=m)in(x+t);//将能转移到x点 的 最后一个元素 x+t 插入队列
while(q[head]+t<x) head++;//找到队首第一个能够转移到x的点
return q[head];
}
//=====================================
signed main()
{
n=read(),m=read(),k=read(),t=read();
while(k--)
{
int x=read(),y=read(),w=read();
f[x][y]=w;
}
for(now=2;now<=n;now++)//从第二行,开始转移
{
for(int i=1;i<=t;i++) in(i);//初始化单调队列 , 满足能够 转移j=1的点
for(int j=1;j<=m;j++) f[now][j]+=f[now-1][find(j)];// 进行转移
head=tail=1 , q[1]=0;//清空队列
}
for(int i=1;i<=m;i++)//取得最大值
ans=max(ans,f[n][i]);
printf("%lld",ans);
}
```
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完成了这篇题解 , 东方众信仰 $++$