题解 P2599 【[ZJOI2009]取石子游戏】

yybyyb · 2018-10-08 19:42:57 · 题解

神仙题.jpg。ZJOI是真的神仙。
发现SG函数等东西完全找不到规律，无奈只能翻题解。

首先设L[i][j]表示在[i,j]这一段区间的左侧放上一堆数量为L[i][j]的石子后，先手必败。同理定义R[i][j]表示右侧。

首先我们可以证明L[i][j]唯一，假设存在两个L[i][j]，显然较大的那个可以通过一步转移转移到较小的那个，所以不合法。因此L[i][j]唯一。

接下来考虑如何证明L[i][j]一定存在。假设L[i][j]不存在，那么对于这段区间而言，在左边加上任意一堆石子先手都必胜，既然先手必胜意味着先手进行一步操作之后可以到达一个必败态，这里分情况讨论。假设先手拿的是最左边的一堆石子，因为不存在L[i][j]，所以只要拿了左边的石子之后，当前局面都是必胜态，所以不可能拿左边的石子。那么只能拿右边的石子，那么无论右边拿了一定量之后，无论左边添加了多少，都是一个必败态，那么此时后手在左侧随便拿走一定数量，这个状态也还是一个必败态，显然也不成立。因此L[i][j]必定存在。

综上，我们知道了L[i][j]一定存在并且唯一，而L[][],R[][]显然是对称的，因此R[i][j]也满足上述性质。

现在考虑如何求解L[i][j],R[i][j]同理。首先边界情况显然，L[i][i]=a[i]，因为只剩下两堆一模一样的情况的时候，后手只需要模仿先手的行动对称执行就好了，这样子一定不会输，即先手必败。

接下来来大力分类讨论，为了方便，设L=L[i][j-1],R=R[i][j-1],x=a[j]

• x=R

  这种情况下显然只需要直接把a[j]放进去就好了，即这个区间本身就是一个必败态。所以L[i][j]=0。

• x<L,x<R

  这种情况下L[i][j]=x。这种情况下最靠左的L[i][j]和x=a[j]是相同的，意味着先手无论怎么取，后手显然可以学着它的方法取，也就意味着左右两堆中显然必然会先拿完一堆，此时后手学着拿的那一堆的石子数一定也是小于L,R的。假设先手先拿完了最靠右的一堆，即剩下了[i,j-1]，因为L[i][j-1]表示的是在这一段区间最左侧加入一个L[i][j-1]的堆，无论先手怎么取先手都是必败的，那么我们等价的认为先手取走了这一堆的一部分，显然后手是必胜的。假如先手先取完的是最左的一堆，同理，R[i][j-1]的含义是在最右侧加入了一堆，而a[j]<R[i][j-1]，我们还是可以等价的认为先手在这一堆中取走了若干石子，而这个状态对于先手而言是必败状态，因此显然后手必胜。

• R<x<L

  这种情况下L[i][j]=x-1。这样子考虑，假设先手先拿了左边这一堆，那么假设还剩下了z个石子，如果z<R，后手把右侧的那一堆也给拿成z就变成了上面的情况。如果z\ge R，那么后手把最后那一堆拿成z+1，于是又回到了这种情况，相当于这种情况递归处理。如果先手先拿的是右侧的这一堆，还是一样的，假设把它拿成了z，如果z<R，同上可以变成x<L,x<R的情况；如果y=R，直接把左边拿完，就变成了R[i][j-1]的定义了，先手必败；如果z>R，把左边那堆变成z-1，同样递归处理。

• L<x<R

  分析同上，L[i][j]=x+1。

• x>L,x>R

而R[][]和L[][]是对称的，类似的求解即可。

那么最终只需要判断L[2][n]和a[1]是否相等即可判断胜负情况。

代码有点丑

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1010
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],L[MAX][MAX],R[MAX][MAX];
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
        for(int i=1;i<=n;++i)L[i][i]=R[i][i]=a[i];
        for(int len=2;len<=n;++len)
            for(int i=1,j=i+len-1;j<=n;++i,++j)
            {
                int x=a[j],l=L[i][j-1],r=R[i][j-1];
                if(x==r)L[i][j]=0;
                else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))L[i][j]=x;
                else if(r<x&&x<l)L[i][j]=x-1;
                else L[i][j]=x+1;
                x=a[i],l=L[i+1][j],r=R[i+1][j];
                if(x==l)R[i][j]=0;
                else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))R[i][j]=x;
                else if(r<x&&x<l)R[i][j]=x+1;
                else R[i][j]=x-1;
            }
        puts(a[1]==L[2][n]?"0":"1");
    }
}