题解：AT_pakencamp_2020_day1_d 立方体を壊せ！

_ruyingsuixing_ · 2025-08-14 17:21:27 · 题解

问题分析

题目要求计算边长为 N 的立方体被平面 x+y+z=K 切割后，包含原点 (0,0,0) 的部分体积的 6 倍是多少。\ 立方体的范围为 0 \le x,y,z \le N，平面 x+y+z=K 将空间分为两部分，并且包含原点的部分满足 x+y+z \le K。

核心思路

根据 K 与立方体的位置关系，平面切割立方体的效果不同，需分类讨论：

• 平面在立方体外部（K \le 0）：如图 1 ，此时 x+y+z \le K 不包含立方体任何部分，V_立=0。\ \tiny\color{000000}图 1
• 平面切割出小四面体（0<K \le N）：如图 2-1 , 平面与立方体相交形成以原点为顶点的四面体，如图 2-2 ，体积可直接用 V_四 公式计算。\ \tiny\color{000000}图 2-1
  \tiny\color{000000}图 2-2
• 平面切割立方体中部（N<K \le 2N）：如图 3 ，平面与立方体的三个面相交，形成复杂区域，需通过几何分解推导体积公式。\ \tiny\color{000000}图 3
• 平面靠近立方体对角顶点（2N<K \le 3N）：如图 4 ，平面切割后形成以原点为顶点的七面体，V_七=V_立-V_四。\ \tiny\color{000000}图 4
• 平面完全在立方体外部（K > 3N）：如图 5 ，整个立方体都满足 x+y+z \le K，V_立= 立方体体积公式。\ \tiny\color{000000}图 5

公式推导

• 当 K \le 0\ 此时 x+y+z \le K 无立方体部分，6 倍体积为：

  6 \times 0=0

• 当 0<K \le N\ 平面切割出的区域是顶点为 (0,0,0)、(K,0,0)、(0,K,0)、(0,0,K) 的四面体。四面体体积公式为 V_四=\frac{1}{6}K^3，因此 6 倍体积为：

  K^3

• 当 N < K \leq 2N\ 平面与立方体的三个面相交，需通过积分或几何分解计算。推导得 6 倍体积公式：

  3K^2N - 3KN^2 + N^3 - 2(K - N)^3

• 当 2N < K \le 3N\ 包含原点的部分是整个立方体减去一个小四面体（顶点为 (N,N,N)，边长为 3N - K）。\ 立方体 6 倍体积为 6N^3，小四面体 6 倍体积为 (3N - K)^3，因此结果为：

  6N^3 - (3N - K)^3

• 当 K > 3N\ 整个立方体都满足 x + y + z \le K，6 倍体积为立方体体积的 6 倍：

  6N^3

代码实现

根据上述推导，分情况计算结果：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,res;
int main(){
    cin>>n>>k;
    if(k==0){
        res=0;
    }else if(k<=n){
        res=k*k*k;
    }else if(k<=2*n){
        res=3*k*k*n-3*k*n*n+n*n*n-2*(k-n)*(k-n)*(k-n);
    }else if(k<=3*n){
        res=6*n*n*n-(3*n-k)*(3*n-k)*(3*n-k);
    }else{
        res=6*n*n*n;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}