An abstract way to solve Luogu P1001

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Abstract

本文使用多层感知器（Multilayer Perceptron）实现了计算加法的程序，通过了洛谷（Luogu）的题目 P1001 A+B Problem。

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:::info[AI 摘要] 这篇文章总结了使用多层感知器（MLP）解决洛谷P1001（A+B Problem）的实现过程与成果，核心内容如下：

核心方法

采用无隐层的MLP架构，损失函数为均方误差（MSE），激活函数为线性函数（(f(x)=x)）。输入数据归一化至([-1,1])区间，输出结果通过乘以(10^9)后四舍五入取整（避免int(x+0.5)的向零取整问题）。

训练配置

成果与结论

通过反向传播训练，该MLP模型成功通过洛谷P1001的AC验证（记录链接：https://www.luogu.com.cn/record/256027791）。文章验证了MLP在简单算术问题中的可行性，并指出其结合卷积与门控机制的改进架构（如ECgMLP）在病理图像分析等复杂任务中的潜力。

背景扩展

MLP作为前馈神经网络，由输入层、隐层和输出层构成，通过矩阵运算与激活函数传递信息。改进型gMLP通过门控机制控制信息流，ECgMLP进一步融合卷积操作，增强局部特征提取能力，已在癌症检测等高分辨率图像分析中展现优势。

综上，文章通过具体实现证明了MLP在基础算术问题中的有效性，并关联了神经网络在更复杂场景中的应用前景。 :::

1. Introduction

多层感知器（Multilayer Perceptron，MLP）是一种前馈人工神经网络模型，其将输入的多个数据集映射到单一的输出数据集上。2021年5月，Google Brain提出带有门控机制的改进型gMLP架构，通过控制层间信息流提升了模型性能。基于gMLP框架，研究者开发出ECgMLP模型，首次将卷积操作嵌入门控MLP结构中，结合了全局信息处理和局部特征提取的优势。该架构通过上下文感知的门控机制动态调整特征重要性，在高分辨率病理图像分析中展现出特定优势，应用于癌症检测领域。

:::align{right} ——百度百科。 :::

MLP（Multilayer Perceptron，多层感知器）是一种前馈神经网络，即其没有任何反馈。它拥有一个输入层，若干个隐层和一个输出层。输入通过输入层，通过矩阵操作和激活函数流向输出层，得出最终结果。训练一般使用反向传播（Back Propagation，BP）实现。

注意到神经网络比较万能，我们考虑用它解决 A+B problem。

2. Time Complexity Analysis

我们使用经典的 MLP 实现，使用若干个 batch，每个 batch 训练若干轮。

我们得到一种 O(abc)+O(1)=O(abc) 的算法，其中 a 是 batch 的数量，b 是每个 batch 的训练次数，而 c 是每个 batch 的大小。常数也不算大，大概就是 abc=3\times 10^5 都要跑约 650\mathrm{ms} 的常数。

3. Implementation

没有隐层，损失函数用的 MSE，激活函数用的 f(x)=x，一共 30 个 batch，每个 batch 训 10 次，每个 batch 1000 个数据，学习率 0.01。输入是 -1\sim 1 的实数，然后求结果就是除以 10^9 然后扔给 MLP 然后把结果乘 10^9 再四舍五入（注意不能用 int(x+0.5) 因为 int 是向零取整）。

AC 记录。你会发现代码中间有一些 #include，这是因为我把多文件直接展开成单文件了。

代码长度也就 28.29\mathrm{KB}（843 行），总时间也就 6.57\mathrm{s}（没有进行任何优化……纯暴力），内存达到了整整 1.03\mathrm{MB}。

4. Conclusion

我们发现 MLP 可以用来实现 A+B Problem，拿下了 AC（Accepted，即通过）的成绩。

References

AI 使用说明：生成了一个有趣的摘要。