题解 P3182 【[HAOI2016]放棋子】

· · 题解

如果知道了错排问题，那这就是一个裸的高精。
原博客戳这里 YoungNeal

Description

给你一个 N*N 的矩阵，每行有一个障碍，数据保证任意两个障碍不在同一行，任意两个障碍不在同一列，要求你在这个矩阵上放 N 枚棋子（障碍的位置不能放棋子），要求你放 N 个棋子也满足每行只有一枚棋子，每列只有一枚棋子的限制，求有多少种方案。

Solution

我们先来科普一下错排问题。

错排问题指考虑一个有 n 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n 个元素的错排数记为 D(n) 。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 ---《百度百科》

看上去这就是一个递推问题，那么递推式是如何推出来呢？ 当 n 个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用 D(n) 表示，那么 D(n-1) 就表示 n-1 个编号元素放在 n-1 个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第 n 个元素放在一个位置，比如位置 k ，一共有 n-1 种方法；
第二步，放编号为 k 的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置 n ，那么，对于剩下的 n-1 个元素，由于第 k 个元素放到了位置 n ，剩下 n-2 个元素就有 D(n-2) 种方法；⑵第 k 个元素不把它放到位置 n ，这时，对于这 n-1 个元素，有 D(n-1) 种方法；
综上得到

D(n) = (n-1) *(D(n-2) + D(n-1))

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

知道了这个之后，这题就是一个裸的高精了。

// By YoungNeal
#include<cstdio>
using namespace std;
// D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))
// D(1)=0 D(2)=1

int n;
int D[205][100005];

void ad(int now){
    int x=0;
    for(int i=1;i<100005;i++){
        D[now][i]=D[now-1][i]+D[now-2][i]+x;
        x=D[now][i]/10;
        D[now][i]%=10;
    }
    x=0;
    for(int i=1;i<100005;i++){
        D[now][i]=D[now][i]*(now-1)+x;
        x=D[now][i]/10;
        D[now][i]%=10;
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    D[2][1]=1;
    if(n==1||n==2){
        printf("%d",n-1);
        return 0;
    }
    for(int i=3;i<=n;i++)
        ad(i);
    int lenc=100004;
    while(D[n][lenc]==0) lenc--;
    while(lenc) printf("%d",D[n][lenc--]);
    return 0;
}