题解 P1484 【种树】

litc · 2013-08-22 22:08:57 · 题解

本题其实是在n个数中选出至多k个数，且两两不相邻，并使所选数的和最大。

很容易想到动规思路：f[i][j]表示种到第i棵树且种了j棵的最大获利，则f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-2][j-1]+a[i])，注意边界、初始化即可。

但是，对于本题n<=300000的数据规模，动规显然不足以通过本题，需要另想算法。

我们先进行小规模枚举：

k=1时，显然取n个数中取最大的即可（暂不考虑全负的情况）。设最大的数是a[i]。

k=2时，则有两种可能：1、另取一个与a[i]不相邻的a[j]。2、取a[i-1]和a[i+1]。

我们可以发现：如果k=1时最优解为a[i]，那么我们便可以把a[i-1]和a[i+1]进行合并，因为它们要么同时被选，要么同时落选（证明不难，请自行解决）。而且，我们还注意到：当选了a[i-1]和a[i+1]时，获利便增加了a[i-1]+a[i+1]-a[i]。所以当a[i]被选时，我们就可以删去a[i-1]和a[i+1]，并把a[i]改成a[i-1]+a[i+1]-a[i]，重新找最大的。

每次找的都是最大的数，我们便可以使用堆进行操作，直到堆中最大值小于0或取出k个数后停止。复杂度O(klogn)。