线性的指数函数
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个人记录
一种很新的定义
不难发现，如果令 E=\begin{pmatrix}1 & 1\\ & 1\end{pmatrix}，那么 \forall n\in \Z, E^n=\begin{pmatrix}1 & n\\ & 1\end{pmatrix}。
然后就是经典套路——如果我们设 Exp(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ & 1\end{pmatrix}, x\in \R，其仍然满足 Exp(a)Exp(b)=Exp(a+b)。
Exp 的连续性和导数
$\dfrac{ \| Exp(a)-Exp(b)\| }{|a-b|}=\dfrac{\|\begin{pmatrix}0 & a-b\\ & 0\end{pmatrix}\|}{|a-b|}=1$，因此这种 $Exp$ 甚至是 $1$-Lipschitzian 的，这比 $a^x$ 这种 locally Lipschitzian 要强很多。
$Exp'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{Exp(x+h)-Exp(x)}{h}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ & 0\end{pmatrix}$。
## Exp 的特殊运算法则
不难验证，若 $\lambda+\mu =1$，则 $\lambda Exp(x)+\mu Exp(y)=Exp(\lambda x+\mu y)$。无论我们如何规定 $Exp(\R)$ 中的序关系，这个 $Exp$ 永远不严格凹也不严格凸。
## Exp 可能的应用
不难发现 $Exp$ 实质上是 $\R \to M_{2,2}(\R)$ 的一次函数，而一次函数我们在初二已经进行学习，因此建议放入初二学生的期末考中。