超几何函数

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请注意超几何函数不写左右下标是坏习惯，大家不要跟我学坏了。

超几何函数 F 定义为 F\!\left[\genfrac{}{}{0pt}{}{a,\,b}{c};z\right]=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\prod\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}。

这个函数只对 |z|<1 的元素收敛，这一点其实并不显然，大家可以感性理解一下。可以在解析延拓之后覆盖整个复平面，然而之后提到时默认 |z|=1。

由于打 \LaTeX 实在是有点麻烦，所以之后直接写 F(a,b;c;z)。

由于超几何的恒等式太多了，这里我们只挑几个形式简单的式子证明。

考虑证明 F(1,1;2;-z)=\frac{\ln(1+z)}{z}。

F(1,1;2;-z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-z)^n}{n!}\prod\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(1+k)^2}{2+k}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-z)^n}{n!}\frac{n!^2}{(1+n)!}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n}z^n=\frac{\ln(1+z)}{z}

即证，最后一步是泰勒展开。

考虑证明 F(\frac{1}{2},1;2;4z(1-z))=\frac{1}{1-z}。

F(\frac{1}{2},1;2;4z(1-z))=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{[4z(1-z)]^n}{n!}\prod\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(\frac{1}{2}+k)(1+k)}{2+k}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{[4z(1-z)]^n(2n-1)!!}{2^n(n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{[4z(1-z)]^n2n!}{4^n(n+1)!n!}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{[z(1-z)]^n2n!}{(n+1)!n!}

这里我们可以注意到，\frac{2n!}{(n+1)!n!} 的式子我们似乎很熟悉，没错，这就是卡特兰数。

于是原式可以变成 \sum\limits_{n=0}^{+\infty}C_n[z(1-z)]^n。

回忆卡特兰数的生成函数 \sum\limits_{n=0}^{+\infty}C_nx^n=\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}}，代入 x=z(1-z) 即得原式为 \frac{2}{1+\sqrt{1-4z(1-z)}}=\frac{2}{1+1-2z}=\frac{1}{1-z}。

这里有一个问题是凭什么 \sqrt{1-4z(1-z)} 是 1-2z 不是 2z-1。

我们可以看到 |4z(1-z)|\le1，于是 |z|\le\frac{1}{2}，那么我们就完美的证明了结论。

考虑证明 F(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2)=\frac{\ln\frac{1+z}{1-z}}{2z}。

F(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{n!}\prod\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(\frac{1}{2}+k)(1+k)}{\frac{3}{2}+k}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{1+2n}=\frac{\ln\frac{1+z}{1-z}}{2z}

熟悉的泰勒展开，就这样，我们证明了结论。

本文仅仅是对超几何函数的一个简单的介绍，权且当是抛砖引玉，欢迎各路大蛇来 d，如有错误私信联系即可。