狭义相对论
dhlzZyl40
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学习·文化课
前言
- 今天课上刚刚讲了狭义相对论，我觉得老师讲得不够详细，自己整理了一份笔记，供各位朋友们深究。
- 图片是手绘的，有些粗糙，见谅。
狭义相对论
一、伽利略变换
选定一辆车，以右边为正方向，从原点出发，向正方向行驶时间 t^\prime，速度为 v，此时车的坐标为 vt^\prime。
以车为原点再建立一个坐标系，前方于时间 t 出现一个球，此时球的位置相对于地面参考系是 \left( x,t \right)，相对于车厢参考系是 \left( x^\prime,t^\prime \right)。
则小球与车之间的距离为 x^\prime，与原点的距离为 x，则：
\begin{aligned}
x &= x^\prime + vt^\prime\\
t &= t^\prime
\end{aligned}
特点：
- 力学定律在伽利略变换下保持不变。
- 电磁学规律在伽利略变换下不协变。
- 无论以何为参考系，麦氏方程组得出的光速均为 c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}。
- 学界开始寻找“以太”，未果。
二、洛伦兹变换
1. 相对论的基本假设
- 相对性原理：任何惯性参考系下，所有物理规律都是协变的。
- 光速在真空中是保持不变的。
2. 公式推导
设 x = k^\prime \left( x^\prime + vt^\prime \right)，x^\prime = k \left( x - vt \right)，由基本假设，得：
\begin{aligned}
k &= k^\prime\\
x^\prime &= ct^\prime\\
x &= ct
\end{aligned}
解释：
- 因为相对性原理要求所有惯性系平权，所以从 x 到 x^\prime 的变换和从 x^\prime 到 x 的变换应该具有相同的形式，只是速度 v 变为 -v，因此变换系数 k 和 k^\prime 相等。
- 假设当车开始运动时，同时发出一道光，由于光速不变，所以 x = ct，x^\prime = ct^\prime。
\therefore
\begin{aligned}
xx^\prime &= kk^\prime \left( x^\prime + vt^\prime \right) \left( x - vt \right)\\
c^2tt^\prime &= kk^\prime \left( ct^\prime + vt^\prime \right) \left( ct - vt \right)\\
c^2tt^\prime &= kk^\prime \left( c^2tt^\prime - cvtt^\prime + vctt^\prime + v^2tt^\prime \right)\\
c^2 &= kk^\prime \left( c^2 - v^2 \right)\\
kk^\prime &= \frac{c^2}{c^2 - v^2}\\
kk^\prime &= \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
k &= k^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\end{aligned}
\therefore
\begin{aligned}
x &= \frac{x^\prime + vt^\prime}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
x^\prime &= \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{aligned}
反解：
\begin{aligned}
x &= ct\\
\frac{x^\prime + vt^\prime}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} &= ct\\
\frac{ct^\prime + v \frac{x^\prime}{c}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} &= ct\\
\frac{t^\prime + v \frac{x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} &= t\\
t &= \frac{t^\prime + v \frac{x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{aligned}
同理可得：
\begin{aligned}
x^\prime &= \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
ct^\prime &= \frac{ct-vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
ct^\prime &= \frac{ct-v\frac{x}{c}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
t^\prime &= \frac{t-v\frac{x}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{aligned}
三、洛伦兹变换的应用
1. 同时相对性
2. 尺缩效应
\begin{aligned}
t_1 &= t_2\\
L &= x_2 - x_1
\end{aligned}
\begin{aligned}
L_0 &= x_2^\prime - x_1^\prime\\
L_0 &= \frac{x_2}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} - \frac{x_1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
L_0 &= \frac{x_2-x_1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
L_0 &= \frac{L}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{aligned}
\therefore
\begin{aligned}
L_0 &= \frac{L}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
L &= L_0\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}
\end{aligned}
注：此时 L_0 叫做本征长度。
3. 慢钟效应
- 假设地面上有一个人，拿着一个钟，钟此时示数为 t_1^\prime。人以速度 v 向右运动一定时间，钟此时示数为 t_2^\prime。
$$
\begin{aligned}
t_0 &= t_2^\prime - t_1^\prime
\end{aligned}
$$
注：$t_0$ 指**本征时间**。
$\therefore
\begin{aligned}
t &= t_2 - t_1\\
t &= \frac{t_2^\prime + \frac{vx^\prime}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} - \frac{t_1^\prime + \frac{vx^\prime}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
t &= \frac{t_2^\prime - t_1^\prime}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}\\
t &= \frac{t_0}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{aligned}