题解：P10323 理性（Rationality）
ZhongYuLin
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题解
本文给出对于确定的 v 的解法。后面的步骤其余题解已经是完备的了。
记 A=\begin{bmatrix}
x_1 & 1\\
x_2 & 1\\
\dots & \dots \\
x_{n-1} & 1\\
x_n & 1
\end{bmatrix}，\textbf{y}=\begin{bmatrix}
v_1\\
v_2\\
\cdots \\
v_{n-1}\\
v_n
\end{bmatrix}，\textbf{x}=\begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix}。
依照题意，我们可以构建一个方程：
A\textbf{x}=\textbf{y}
这个方程当然是大概率没有解的。注意到题目要求，我们即是要求出一个解 \textbf{z}，使得 \forall \textbf{x}，|A\textbf{x}-\textbf{y}|\geq |A\textbf{z}-\textbf{y}|。
我们先考虑只有三个点的时候的情况。考虑去刻画矩阵 A 的列空间。A 的列空间可以理解为 \mathbb{R}^3 中的一个平面，因为两个线性无关的三维向量形成了 \mathbb{R}^3 中的一个平面。将 \textbf{y} 视作这个 \mathbb{R}^3 中的一个点。
那什么时候 |A\textbf{z}-\textbf{y}| 最小呢？显然是 A\textbf{z}-\textbf{y} 垂直这个平面时最小。由高中立体几何可知，A\textbf{z}-\textbf{y} 垂直于 A 的两个列向量，即：
A^\mathsf{T}(A\textbf{z}-\textbf{y})=0
整理有：
A^\mathsf{T}A\textbf{z}=A^\mathsf{T}\textbf{y}
类似的，可以推广至超平面。
对应到本题，即是：
\sum_{i=1}^{n} d_i^2 & \sum_{i=1}^{n} d_i\\
\sum_{i=1}^{n} d_i&n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^{n}d_iv_i\\
\sum_{i=1}^{n}v_i
\end{bmatrix}
第一步结束。后面的暴力推式子就行了。