题解 P5600

Provicy · 2019-10-21 16:01:33 · 题解

总结：这题较难，考查了枚举和乱搞的能力（说过了，这道题真的有点依靠乱搞水平，或许比爆搜还快不少）。

Data7：

纯考平面几何知识的一道题。

观察一段时间目标点之后，我们发现这题是求一个三角形的费马点。

我们求一个三角形的费马点，如果这个三角形有一个内角大于等于120°，显然费马点就是这个顶点，否则就是到三边张角都是120°的角。

我们可以据此推出较简单的一种作法：

向△ABC外作等边三角形ABA'，再作其外接圆交A'C于P，则P就是费马点。

于是我们可以得到以下3步后的图形：

那么很快我们就有一种6步作法如下：

这是我考场上想到的作法，但是你是不是发现我在上上张图中有一条线在上张图中没有出现？

我们想到，我们不必要把这个等边三角形求出来，我们只需要知道这个A'在哪条直线上即可。

我们如此作三个圆之后，根据圆的性质，我们得到四边形ABFE为一个菱形。

作法：连结CD，交圆心为A的这个圆于E，那么以E为圆心，A为圆上一点作圆，交以B为圆心的圆于点F，连结AF。AF与CD交点即为点Q。

因为EB被固定，且根据ABFE是菱形的结论，我们得到AF为线段BE的中垂线。所以在直线AF上一定存在某点P，使得△BEP为等边三角形。则得到点Q。

总结：一道几何题，由7分向10分的突破是比较难的。

Data8：

和Data7提供的已知点相同，目标点也在由三个点组成的三角形内部，并且这三个点已经被组成一个三角形，于是我们猜想这个目标点是这个三角形的某心与某条边的切点。经检验，这个某心是该三角形的内心。

比起Data7的5步求费马点来说，这道题还是不难的。如果你对平面几何稍有了解，就知道如何快速求这个Q点。

对这种中垂线构造如果熟悉的话这题没有难度。

总结：Data6到Data10中最简单的一题，也是考场上我在这5个点中唯一做出的点。

Data9：

还算容易的乱搞题。

在直线EF上红点H即为所求。

我们观察到红点H与点C的关系，我们假设它们同为一个圆上的点，那么我们易想到存在G这个点，那么我们就要构造一条过x轴这个点的直线，我们对于几个圆的构造的尝试后得出以上图的结果。

总结：如果愿意去做这题，那么Data9就毫无难度，只需少数尝试即可。

Data10：

非常难的乱搞做法。

我们观察到Data10和Data9相比，给的步数变多了，同时这个点也离已知点较远，那么我们可以想到在Data9的基础上构造它。

观察所求Q点，我们发现Q，D，H三点共线！我们大眼观察得到如此结论。于是根据这个特性，我们继续尝试构造。

最终，我们的Q点以直线HD与以D为圆心的圆相交的右交点为圆上一点，以点L为圆心作圆，则得到Q，因为Q也在直线HD上。（乱搞出奇迹！）

总结：爆搜和乱搞都行的一个很难的点。但是我不会爆搜于是只能乱搞。

大总结：非常适合颓♂废的一道题，不过大家还是自己写比较好，也能比较好的锻炼几何感觉。

最后放下代码，各位可以对比对照一下（仅有答案），如果有更好的作法欢迎提出（Data10目前最短9步）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void BigPrint1()
{
    printf("40\n");
    printf("2 0 1 0 0\n");
    printf("1 0 1 0 -1\n");
    printf("1 0 -1 0 1\n");
    printf("2 -1.7320508075689 0 1.7320508075689 0\n");
    printf("1 0 1 0 0\n");
    printf("1 1 0 0 0\n");
    printf("1 2 0 1 0\n");
    printf("1 0 2 0 1\n");
    printf("1 3 0 0 0\n");
    printf("1 0 3 0 0\n");
    printf("1 6 0 1 0\n");
    printf("1 0 6 0 1\n");
    printf("1 11 0 0 0\n");
    printf("1 0 11 0 1\n");
    printf("1 22 0 0 0\n");
    printf("1 0 21 0 1\n");
    printf("1 44 0 1 0\n");
    printf("1 0 41 0 1\n");
    printf("1 87 0 1 0\n");
    printf("1 0 81 0 1\n");
    printf("1 173 0 1 0\n");
    printf("1 0 161 0 1\n");
    printf("1 345 0 0 0\n");
    printf("1 0 321 0 0\n");
    printf("1 690 0 1 0\n");
    printf("1 0 642 0 1\n");
    printf("1 1379 0 1 0\n");
    printf("1 0 1283 0 0\n");
    printf("1 2757 0 1 0\n");
    printf("1 0 2566 0 0\n");
    printf("1 5513 0 1 0\n");
    printf("1 0 5132 0 1\n");
    printf("1 11025 0 1 0\n");
    printf("1 0 10263 0 1\n");
    printf("1 22049 0 0 0\n");
    printf("1 0 20525 44098 0\n");
    printf("1 44098 0 0 20525\n");
    printf("2 4273.8285813547 -27927.4882594317 39824.1714159424 48452.4882592014\n");
    printf("2 0 20525 44098 0\n");
    printf("2 0 0 22049 10262.5\n");
}
void BigPrint2()
{
    printf("9\n");
    printf("1 10.64978745 0 0 0\n");
    printf("1 0 0 10.64978745 0\n");
    printf("1 -10.64978745 0 0 0\n");
    printf("1 5.324893725 9.2229864766047 -10.64978745 0\n");
    printf("2 -2.8891429892634 -7.293172854404 -5.324893725 9.2229864766047\n");
    printf("1 -3.9647169644197 0 -10.64978745 0\n");
    printf("2 -2.1668572419475 6.4387784412487 5.324893725 9.2229864766047\n");
    printf("2 21.2995749 0 -13.0855381857366 10.3675016799389\n");
    printf("1 -6.5503572407083 8.39707048614 22.6154412356748 15.6487848683712\n");
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    if(n==1) {printf("3\n1 0 0 1 0\n1 1 0 0 0\n2 0.5 0.8660254037844 0.5 -0.8660254037844\n"); return 0; }
    if(n==2) {printf("3\n1 1 0 5.23124577 4.31624417\n1 7.0442869307472 0 5.23124577 4.31624417\n2 5.23124577 4.31624417 5.23124577 -4.31624417\n"); return 0; }
    if(n==3) {printf("5\n1 0 0 1 0\n1 1 0 0 0\n2 0.5 0.8660254037844 0.5 -0.8660254037844\n1 0.5 1 0.5 0\n2 0.9916198487096 0.1291900756452 -0.4916198487096 0.8708099243548\n"); return 0; }
    if(n==4) {printf("10\n1 1 0 0 0\n1 2 0 0 0\n1 4 0 0 0\n1 8 0 0 0\n1 16 0 0 0\n1 32 0 0 0\n1 64 0 0 0\n1 128 0 0 0\n1 256 0 0 0\n1 512 0 0 0\n"); return 0; }
    if(n==5) {printf("10\n1 1 0 0 0\n1 2 0 0 0\n1 4 0 0 0\n1 8 0 0 0\n1 16 0 0 0\n1 32 0 0 0\n1 64 0 0 0\n1 128 0 4 0\n1 252 0 0 0\n1 504 0 8 0\n"); return 0; }
    if(n==6) {BigPrint1(); return 0; }
    if(n==7) {printf("5\n1 0 0 12.34441574 0\n1 12.34441574 0 0 0\n2 5.16457145 9.12243565 6.17220787 -10.6905776257165\n1 5.0557791797877 11.2616027654675 0 0\n2 0 0 17.4001949197877 11.2616027654675\n"); return 0; }
    if(n==8) {printf("5\n1 0 0 5.16457145 9.12243565\n1 12.34441574 0.00000000 5.16457145 9.12243565\n1 0.7354107775996 0 10.4829208930787 0\n1 10.4829208930787 0 0.7354107775996 0\n2 5.6091658353392 8.4415913836507 5.6091658353392 -8.4415913836507\n"); return 0; }
    if(n==9) {printf("6\n1 10.64978745 0 0 0\n1 0 0 10.64978745 0\n1 -10.64978745 0 0 0\n1 5.324893725 9.2229864766047 -10.64978745 0\n2 -5.324893725 9.2229846217 -2.8891429892634 -7.293172854404\n1 -3.9647169644197 0 -10.64978745 0\n"); return 0;}
    if(n==10) {BigPrint2(); return 0; }
    return 0;
}

后记：这算我写过最长的题解了吧，也是对这题比较详细的一个解答，希望大家能看懂，如果有不对的地方请指正QwQ