高考圆锥曲线常见二级结论

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序言

圆锥曲线题在高考占比不小，且计算量很大，如果可以熟记更多二级结论，会有效地减少做题时间。

本文中所有例题建议深度思考后再看解析。

圆锥曲线第二定义

事实上，任意圆锥曲线均有准线的定义。对于焦点在 x 轴的椭圆和双曲线，其准线为 x=\pm \frac{a^2}{c}。

定义圆锥曲线为到焦点 F 和准线 l 的距离的比为定值 e 的点组成的图形。其中称 e 为曲线的离心率。

使用这个方法可以快速地求解圆锥曲线的方程。

圆锥曲线硬解定理

联立是大部分圆锥曲线题的必要操作，联立后得到的韦达定理，判别式，弦长公式等都可以减少计算量。

对于曲线 \Gamma: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1 和直线 l:Ax+By+C=0，若其交于 E,F 两点。联立后的方程为：

\begin{aligned} &(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ &\Delta_x=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &(A^2m+B^2n)y^2+2BCny+n(C^2-A^2m)=0\\ &\Delta_y=4A^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &|EF|=\frac{\sqrt{(A^2+B^2)\Delta_x}}{|B(A^2m+B^2n)|} \end{aligned}

::::warning[注意，解答题的过程应该这样写] 联立 \displaystyle\left\{\begin{aligned}&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\\&Ax+By+C=0\end{aligned}\right. 得：

(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ \Delta=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\

由韦达定理 x_1+x_2=-\frac{2ACm}{A^2m+B^2n},x_1x_2=\frac{m(C^2-B^n)}{A^2m+B^2n}。|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}，将 x_1+x_2 和 x_1x_2 代入得 |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|A^2m+B^2n|}。

:::: # 圆锥曲线参数方程 - 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程：$\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=a\cos\theta\\&y=b\sin \theta\end{aligned}\right.

通过参数方程，我们可以更快地进行设点等操作。

圆锥曲线第三定义

平面内动点 P 与定点 A_1(-a,0),A_2(a,0) 所成的直线的斜率乘积为 e^2-1 的轨迹即为椭圆，圆或双曲线。其中 e 为圆锥曲线的离心率。设 K=k_{PA_1}k_{PA_2}，则 K=-1 时为圆，K\in (-1,0) 时为椭圆，K\in (0,+\infty) 时为双曲线。

中点弦相关

椭圆

设焦点在 x 轴上的椭圆的弦 AB 的中点为 C，若 k_{AB},k_{OC} 存在，则 k_{AB}k_{OC}=-\frac{b^2}{a^2}。

双曲线

设焦点在 x 轴上的双曲线的弦 AB 的中点为 C，若 k_{AB},k_{OC} 存在，则 k_{AB}k_{OC}=\frac{b^2}{a^2}。

抛物线

设弦 AB 的中点为 C(x_0,y_0)，若 k_{AB} 存在，则 y_0k_{AB}=p

焦半径和焦点弦相关

焦半径公式坐标式

设 A(x_0,y_0) 是左右焦点分别为 F 的圆锥曲线的上任意一点，则 |AF|=|a\pm ex_0|，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。具体地，有：

焦半径公式倾斜角式

设 p 为圆锥曲线的焦准距（对于椭圆和双曲线，其为 \frac{b^2}{c}），设 A 是（左）焦点为 F 圆锥曲线（同支）的上任意一点，设 \overrightarrow{AF} 与 x 轴的夹角为 \theta，则 |AF|=\frac{ep}{1\pm e\cos\theta}，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。

由此公式推知下列公式。

椭圆

设过椭圆 \Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 左焦点的直线 l 与 \Gamma 交于 A,B 两点（A 在 B 的上方），l 的倾斜角为 \theta，则：

抛物线

设过抛物线 \Gamma: y^2=2px (p>0) 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点（A 在 B 的上方），直线 l 的倾斜角为 \theta，设 A,B 在准线上的投影为 A',B'，则：

焦点三角形相关

椭圆

设椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的焦点为 F_1,F_2，对于椭圆上异于长轴端点的点 P，设 \angle F_1PF_2=\theta，其余两角分别为 \alpha,\beta，有如下结论：

双曲线

设双曲线 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 的焦点为 F_1,F_2，对于椭圆上异于长轴端点的点 P，设 \angle F_1PF_2=\theta，其余两角分别为 \alpha,\beta，有如下结论：

已知 F_1,F_2 分别为双曲线 x^2-\frac{y^2}{3}=1 的左右焦点，过 F_2 的直线与双曲线的右支交于 A,B两点，记 \triangle AF_1F_2 的内切圆 O_1 的面积为 S_1，\triangle BF_1F_2 的内切圆 O_2 的面积为 S_2，求 S_1+S_2 的取值范围。

::::success[解法]

:::: # 仿射结论 仿射变换有如下重要结论： - 直线间的位置关系不会改变，即平行直线仍然平行，相交直线仍然相交（注意，垂直关系会被破坏） - 各个线段的长度比，各个图形的面积比均不变。 不妨让椭圆通过仿射变为单位圆。这样会有效地简化问题。 ::::warning 部分地区使用仿射方法可能会扣分，请了解所在地区相关政策后再在解答题中使用。 :::: > 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上一点，$M$ 为线段 $OA$ 上的动点，过点 $M$ 作直线交椭圆于 $P,Q$ 两点，若 $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}$，求四边形 $OPAQ$ 面积 $S$ 的最大值。 ::::success[正常解法] 设 $P(2\cos\alpha,\sin\alpha),Q(2\cos\beta,\sin\beta)$，因为 $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}$，$x_M=\frac{2\cos \alpha+4\cos\beta}3,y_M=\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}3$，设 $\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OM}$，将 $A$ 点坐标代入椭圆方程得 $\cos(\alpha-\beta)=\frac{9}{4\lambda^2}-\frac45$。$S=\lambda S_{\triangle POQ}=\lambda|\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta|=\lambda\sin(\alpha-\beta)=\sqrt{-\left(\frac{9\lambda^2}{16}+\frac{81}{16\lambda^2}\right)+\frac{45}8}\leq \frac32$，当且仅当 $\lambda=\sqrt3$ 时等号成立。 :::: ::::success[仿射] 设 $y'=2y$，则 $x^2+y'^2=4$，在平面直角坐标系 $xOy'$ 中，其为圆心在原点，半径 $R=2$ 的圆. 不妨取 $A'(0,2)$，由仿射变换结论得四边形 $OP'A'Q'$ 的面积 $S'=2S=\frac12R|x_{P'}-x_{Q'}|$，而 $x_{Q'}=-\frac12x_{P'}$，$x_{P'}\in [-R,R]$，取 $x_{P'}=R$ 时 $S'$ 取最大值 $3$，即 $S$ 的最大值为 $\frac32$。 :::: # 定比点差法 定比点差法可以解决一类圆锥曲线中定比弦问题。 ::::info[前置知识：定比分点定理] 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则 $P\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$。 :::: 对于圆锥曲线 $\Gamma:\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$ 来说（注意这个形式包括了椭圆和双曲线），若 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是 $\Gamma$ 上两点，且 $P(x_0,y_0)$ 满足$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$。则由定比分点定理可知 $x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}$。而 $A,B$ 在 $\Gamma$ 上，可以得到： $$ \begin{aligned} &\frac{x_1^2}{m}+\frac{y_1^2}{n}=1\\ &\frac{\lambda^2x_2^2}{m}+\frac{\lambda^2y_2^2}{n}=\lambda^2 \end{aligned} $$ 将两式作差可得 $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{m}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{n}=1-\lambda^2$。结合 $x_0$ 和 $y_0$ 可以得到更多结论。 事实上，中点弦定理就是点差法在 $\lambda=1$ 时的特殊情况。 > 已知椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 的上顶点为点 $D$，右焦点为点 $F$，过点 $P(4,2)$ 作直线交椭圆于点 $A,B$（点 $A$ 在点 $P$ 和点 $B$ 之间），交直线 $DF$ 于点 $Q$，点 $A,B,Q$ 互不相同。若 $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB},\overrightarrow{QA}=\mu\overrightarrow{BQ}$，求 $\lambda-\mu$。 ::::success[解法] $\frac{x_1^2}{8}+\frac{y_1^2}{4}=1$，$\frac{\lambda^2x_2^2}{8}+\frac{\lambda^2y_2^2}{4}=\lambda^2$，两式相减得 $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{8}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{4}=1-\lambda^2$。注意到 $Q(\frac{x_1+\mu x_2}{1+\mu},\frac{y_1+\mu y_2}{1+\mu})$ 在直线 $x+y-2=0$ 上，$\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=4,\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=2$。以上各式联立可得 $(\lambda-\mu)(x_2+y_2-2)=0$，由于 $B,Q$ 不相同，则 $x_2+y_2-2\neq 0$，则 $\lambda-\mu=0$。 :::: # 非对称韦达 韦达定理可以处理 $x_1+x_2$，$x_1x_2$，$|x_1-x_2|$ 形如这样的 $x_1,x_2$ 地位对等的式子，但是如果类似 $\frac{x_1}{x_2}$，$kx_1+x_2$ 这样子的式子，我们很不方便直接使用韦达定理，所以可以通过韦达定理进行代换，或使用其他方式凑出韦达式，我们称这种做法为非对称韦达。对于比较常见的 $\frac{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+kx_1}{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+mx_1}$ 形式的式子，通常将上下只保留 $x_1$ 或 $x_2$ 的其中一个，其他项通过配凑变成对称形式韦达并在带入后化简，一般来说可以得到定值。 # 蝴蝶定理 对于二次曲线上弦 $PQ$ 的中点 $M$，从 $M$ 引出两条弦 $AB$，$CD$，设过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线交 $PQ$ 与点 $I,J$，则 $M$ 是线段 $IJ$ 的中点。 蝴蝶定理一般用于解决圆锥曲线中的斜率比问题。 # 后记 本文持续更新，欢迎私信笔者提供有意义的二级结论。