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Chase12345
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算法·理论
这几天闲着没事看到的东西。然后觉得有趣就写了一篇文章。
1. 引言
在我的文章有提及：
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\\
\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\\
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty
显然，可以得到左右极限不统一，，且 \pm \infty 不是实数集的元素，所以，实数域中，必须将除以零定义为无效运算。
然而，来到复数域，会有：
- 负数不具有天然的顺序，即无法区分 \pm \infty。
- 复函数 f(z)=\frac{1}{z} 在 z=0 处有孤立奇点，但当 z \to 0，无论从哪个方向逼近，|f(z)| \to +\infty。
黎曼在 19 世纪提出将复平面与球面通过球极投影对应，加入一个无穷远点，使扩充复平面 \mathbb{C} \cup \{\infty\} 成为一个紧致复流形，也即黎曼球面，这个时候，\frac{1}{0}=\infty 就自然而然地成立了。注意，\infty 没有方向逼近。
从北极 N 出发，连接 N 与复平面上点 z = x + iy 的直线交球面于另一点 P（除了 N 自身）。这一映射的坐标表达式为：
(X, Y, U) = \left( \frac{2x}{|z|^2 + 1}, \frac{2y}{|z|^2 + 1}, \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1} \right)
其逆映射（从球面点 P \neq N 到复平面）为：
z = x + iy = \frac{X + iY}{1 - U}
当 |z| \to \infty 时，有 U \to 1，即 P \to N，因此北极 N 自然对应无穷远点。
1/0 = \infty 的几何说明
在黎曼球面上，我们定义运算：
\frac{1}{0} = \infty, \quad \frac{1}{\infty} = 0
对于 a \in \mathbb{C} \setminus \{0\}，同样定义：
\frac{a}{0} = \infty, \quad \frac{a}{\infty} = 0
考虑映射 f : z \mapsto 1/z。在黎曼球面上，该映射对应于一个旋转：绕实轴旋转 180^\circ（即 (X, Y, U) \mapsto (X, -Y, -U) 在经过适当的坐标调整后）。这一旋转将南极 S（对应 0）映到北极 N（对应 \infty），反之亦然。因此，在黎曼球面上，f 是全纯的，并且光滑地将 0 与 \infty 互换。
于是，1/0 = \infty 就是这个双全纯映射在点 0 处的取值定义，它使得 f 成为黎曼球面的自同构。
黎曼球面上的算术与极限
扩充复平面 \mathbb{C} \cup \{\infty\} 上的算术规则定义如下（其中 a \in \mathbb{C} \setminus \{0\}）：
\begin{aligned}
a \pm \infty &= \infty \\
a \cdot \infty &= \infty \\
\frac{a}{\infty} &= 0 \\
\frac{a}{0} &= \infty \\
\infty \cdot \infty &= \infty \\
\frac{\infty}{a} &= \infty
\end{aligned}
然而，以下组合仍被视为未定义，否则会产生矛盾：
\infty + \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}
这些规则与莫比乌斯变换完全相容。其一般形式为：
T(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad \text{其中 } a, b, c, d \in \mathbb{C},\quad ad - bc \neq 0
任何莫比乌斯变换 T(z) 均可视为黎曼球面 \mathbb{CP}^1 到自身的全纯自同构：
- 若 c \neq 0，则 T(\frac{-d}{c})=\infty，且 T(\infty)=\frac{a}{c}。
- 若 c=0，则 T(\infty)=\infty。
所有莫比乌斯变换构成一个群（莫比乌斯群），同构于 PSL(2, \mathbb{C})，在黎曼球面上作为共形变换群作用。
与实射影直线的对比
实射影直线 \mathbb{RP}^1 可定义为：
\mathbb{R} \cup \{\infty\}
其中将 +\infty 与 -\infty 视为同一个"无穷远点" \infty。因此，在 \mathbb{RP}^1 上，同样可以定义：
\frac{1}{0} = \infty, \quad \frac{1}{\infty} = 0
其几何模型是一个圆 S^1，可通过实直线的一点紧化或等价地通过球极投影（限制在一条穿过球面赤道的大圆上）来构造。
映射 x \mapsto 1/x 在 \mathbb{RP}^1 上是一个良定义的对合（involution），它将 0 与 \infty 互换。这表明，"1/0 = \infty"这一概念在实数和复数的摄影机和框架下都是自然且一致的结构，并不依赖于复数域的代数闭性。黎曼球面 S^2 \cong \mathbb{CP}^1 可视为实射影直线 \mathbb{RP}^1 \cong S^1 在复维度上的自然推广。