有趣的反常函数

· · 算法·理论

下面讨论的全体函数定义域都为 \mathbb{R}，值域各有千秋只能说。

处处不连续

Dirichlet function：

1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}

显然，它在所有点不连续。

在无理点连续，在有理点不连续

Riemann function：

\frac{1}{q} & x = \frac{p}{q} \text{ 是一个既约分数的有理数} \\ 0 & x \text{ 是无理数} \end{cases}

在零点处可导，在其它所有点不连续

另外，不存在在零点处二阶可导，在其它所有点不连续的函数。 ### 在零点处任意阶导为 $0$ 的非零函数 $$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ ### 连续但处处不可导 Weierstrass function 的一个实例： $$W(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(32^kx)}{4^k}$$ 处处连续的证明： 对于任意 $x_0$，任意取 $\delta>0$，取 $n_0=\left\lceil \frac{\ln(3\delta)}{\ln 4}\right\rceil+2$，注意到 $\left|\sum\limits_{k=n_0}^{\infty}\frac{\cos(32^kx)}{4^k}\right|<\frac{\delta}{4}$，所以这部分产生的差距不会超过 $\frac{\delta}2$，然后由于前 $n_0$ 项是连续的，所以它们的和也是连续的，所以存在 $\epsilon$ 满足 $\forall |x-x_0|<\epsilon$ ，前 $n_0$ 项差值不会超过 $\frac{\delta}{2}$，所以处处连续。 处处不可导的证明：咕咕咕。 ### 可导但导函数间断 $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\sin\frac{1}{x}&(x\neq0)\\ 0&(x = 0)\end{array}\right.$$ 可以证明： $$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac1{x}&x\neq0\\ 0&x = 0\end{array}\right.$$ 在 $0$ 处不连续。 ### 递增但有理点处处间断 $$f(x)=\lfloor x\rfloor+\sum\limits_{i\in \mathbb{Q},\lfloor x\rfloor\le i<x}10^{-\frac{1}{R(i)}}$$ 显然单调递增且在有理点处处间断。 另外，不存在函数单调递增且处处不连续，上面举出的函数例子也仅仅是在有理点不连续，但是在无理点连续。 ### 可导但导函数在有理点处处间断 $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\sin\frac{1}{x}&x\neq0\\ 0&x = 0\end{array}\right.$$ 定义： $$f(x)=\sum\limits_{i\in \mathbb{Q}}g(x-i)10^{-\frac {|i|}{R^2(i)}}$$ 那么 $f'(x)=\sum\limits_{i\in \mathbb{Q}}g'(x-i)10^{-\frac {|i|}{R^2(i)}}$ 显然收敛，且在有理点处处处间断，无理点处处处连续。 另外，不存在函数处处可导，但导函数处处间断。 ### 连续但在有理点不可导 $$f(x)=\sum_{i\in \mathbb{Q}}|x-i|10^{-\frac{|i|}{R^2(i)}}$$ ### 有极值但极值点左右任意小邻域不单调 $$f(x)=\begin{cases}2x^2+x^2\sin{\frac1x}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ 容易发现 $0$ 是极小值，但是： $$f'(x)=\begin{cases}4x+2x\sin{\frac1x}-\cos\frac1x&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ 显然在 $0$ 的左右侧不单调。 ### 可导且在一点导数不为 $0$ 但左右任意小邻域不单调 $$f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin{\frac1x}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ $$f'(x)=\begin{cases}1+4x\sin\frac{1}{x}-2\cos\frac{1}{x}&x\ne 0\\1&x=0\end{cases}$$ ### 严格递减且函数正无穷处极限为 $0$ 但导函数正无穷处极限非 $0 f(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\operatorname{d}t}{1+t^4\sin^2t}

注意到：

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)\approx 3.357078