[模板]自适应辛普森法

xcxcli · 2020-03-06 12:54:04 · 题解

Upd:修正计算错误和错别字

【模板】自适应辛普森法2

反驳

反对楼上的答案，反常积分的收敛性不是这么判断的！

反驳1

当 x\to a 时 f(x)\to\infty ， \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x 不一定发散。例：

应用洛必达法则， \lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim\limits_{x\to0^+}-x=0

所以 \int_0^1\ln x\operatorname{d}\!x 收敛且等于 -1 。

反驳2

当 x\to+\infty 时 f(x)\to0 ，\int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 不一定收敛。例：

所以 \int_1^{+\infty}\frac1x\operatorname{d}\!x 发散。

无穷界积分的审敛法

下面我们都讨论在定义域内连续的函数。

定理：

设 f(x) 在 [a,+\infty) 上有 f(x)\ge0 。

如果存在常数 p>1 使得 \lim\limits_{x\to+\infty}x^pf(x)=c<+\infty ，那么 \int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 收敛。

如果 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=d>0 ，那么 \int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 发散。

将区间换为 (-\infty,a] 时定理仍成立。

想要证明？在这里

应用

因为 \lim\limits_{x\to+\infty}x^2·\frac1{x\sqrt{x^2+1}}=1<+\infty ，所以 \int_1^{+\infty}\frac1{x\sqrt{x^2+1}}\operatorname{d}\!x 收敛。

因为 \lim\limits_{x\to+\infty}x·\frac1{\sqrt{x^2-1}}=1>0 ，所以 \int_2^{+\infty}\frac1{\sqrt{x^2-1}}\operatorname{d}\!x 发散。

无穷间断点的审敛法

定理：

设 a 是 f(x) 的无穷间断点， f(x) 在 (a,b] 上有 f(x)\ge0 。

如果存在常数 0<p<1 使得 \lim\limits_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=c<+\infty ，那么 \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x 收敛。

如果 \lim\limits_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0 ，那么 \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x 发散。

设 b 是 f(x) 的无穷间断点， f(x) 在 [a,b) 上有 f(x)\ge0 。

如果存在常数 0<p<1 使得 \lim\limits_{x\to b^-}(b-x)^pf(x)=c<+\infty ，那么 \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x 发散。

如果 \lim\limits_{x\to b^-}(b-x)f(x)=d>0 ，那么 \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x 发散。

证明同样在上面。

应用：

因为 \lim\limits_{x\to1^-}(1-x)^{\frac12}·\frac1{\sqrt{1-x^2}}=\lim\limits_{x\to1^-}\frac1{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{2}}2<+\infty ，所以 \int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{d}\!x 收敛。

因为 \lim\limits_{x\to1^-}(x-1)·\frac1{\ln x}=\lim\limits_{x\to1^-}\frac1{\frac1x}=1>0 ，所以 \int_1^3\frac{\operatorname{d}\!x}{\ln x} 发散。

本题

本题中，x\in[0,+\infty),f(x)=x^{\frac ax-x}=x^{\frac{a-x^2}x}\ge0 。

a<0 时发散的证明

所以只有 a<0 时 \int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 可能在 x=0 处发散。

当 a<0 时，\lim\limits_{x\to0^+}x·x^{\frac{a-x^2}x}=e^{\lim\limits_{x\to0^+}\frac{a-x^2+x}x\ln x}=e^{+\infty}=+\infty ，所以 \int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 在 0 处发散。

+\infty 处收敛的证明

由洛必达法则， \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(a-x^2+2x)\ln x}x=\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x+2)\ln x+\frac{a-x^2+2x}x=-\infty 。

所以 \lim\limits_{x\to+\infty}x^2·x^{\frac{a-x^2}x}=e^{-\infty}=0<+\infty 。

所以 \int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 在正无穷大处收敛。

综上所述， \int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x 在 a<0 时发散，在 a\ge0 时收敛。