题解 AT787 【一変数方程式】

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这题和CF20B简直一模一样啊......

更好的阅读体验？

首先，我们来介绍一些有关一元二次方程的基础知识。

基础概念：形如ax^2+bx+c=0(a\ne0) 的等式叫做 一元二次方程。

下面推导一元二次方程的求根公式及判别式。

将等式两边同时除以a (由于a\ne0，所以这是可行的)，得

x^ 2+\dfrac{b}{a} \cdot x+\dfrac{c}{a}=0

移项，得

x^2+\dfrac{b}{a}\cdot x= -\dfrac{c}{a}

等式两边同时加上\dfrac{b^2}{4a^2},得

x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x+\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}

注意到：x^2+\dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{b^2}{4a^2}=(x+\dfrac{b}{2a})^2

故原方程化为

(x+\dfrac{b}{2a})^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}

化简得

(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

即

x+\dfrac{b}{2a}=\pm\sqrt{\dfrac{b^ 2-4ac}{4a^2}}

化简得

x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

移项，得

x=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}

一般写为

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

这就是一元二次方程的求根公式。

此时，根据平方根的定义，得:

当b^2-4ac\geqslant0 时，\sqrt{b^2-4ac}是实数，即原方程有实数根。

反之，当b^2-4ac<0 时，\sqrt{b^2-4ac} 无意 义，即原方程无实数根。

进一步说:

当b^2-4ac>0 时，原方程有两个实数根，分别为:

x_ 1=\dfrac{-b+\sqrt{b^ 2-4ac}}{2a},x_ 2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

当b^2-4ac=0 时，原方程有两个相同的实数根(称为重根)，均为-\dfrac{b}{2a}.

当b^2-4ac<0 时，原方程无实数根。

一般地，我们将b^2-4ac称为一元二次方程的判别式，记作\Delta.

第二步，做题

需要注意的是: 这道题可没说输入的一-定是一元二次方程啊! a=0 时它不是一元二次方程!

所以，我们要分类讨论.

当a=0时，有以下三种情况:

1.a=0,b=0,c=0

显然，此时原方程有无数解。

2.a=0,b=0,c \ne0

原方程化为0x^2+0x+c=0， 即c=0， 这与c\ne0矛盾。

故此时原方程无解，什么也不输出。

原方程化为一元一次方程$bx+c=0$ 。 解得$x=-\dfrac{c}{b}$。 当$a\ne0$时，就是我们之前讲过的一元二次方程了。按照判别式与求根公式正常输出即可。 *** 至于代码，就不贴了。在明白了以上知识之后，写出一篇AC代码是很容易的啦～ *** **下面的内容为拓展内容，有兴趣的同学可以往后看看** 作为一名MOer，我打算继续往后讲一点更有趣的内容。 *** $1.$根与系数的关系——韦达定理 我们知道，方程是由系数、未知数以及未知数的次数构成的。也就是说，我们可以认为一元二次方程由各项的系数所决定（相信你已经通过这道题明白了这一点）。 那么，当系数被确定的时候，这个一元二次方程就被确定了。进一步，当这个一元二次方程被确定的时候，它的两个根也被确定了。 自然地，这就引发我们去思考，方程的根与方程的系数有怎样的关系呢？让我们共同来探求吧。 我们知道： 如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根分别为$x_1,x_2$，则 $$x_ 1=\dfrac{-b+\sqrt{b^ 2-4ac}}{2a},x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ $$\therefore x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+(-b)-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$ $x_1\cdot x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad\quad\quad=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} $\quad\quad\quad=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2} \quad\quad\quad=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}

结论：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a\ne0)的两根分别为x_1,x_2，则有

\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}\\ \end{cases}

这就是著名的“韦达定理”。

韦达定理还有一种推导方式，由于篇幅的原因这里就不详述了。

这的确是”伟大“定理。我们应该记住它。

解决这类问题，通常都是通过讨论其判别式，利用刚刚讲过的韦达定理或因式分解等方法求解。 我们知道：如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(c\ne0)$的两根分别为$x_1,x_2$，则有： $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ （没错，这个公式就是这么好用） 由平方根的定义，我们知道：只有在判别式$\Delta=b^2-4ac$为完全平方数时，$\sqrt{b^2-4ac}$才是一个整数，故$x_1,x_2$是整数。 于是，我们得到结论：当且仅当判别式$\Delta=b^2-4ac$为完全平方数时，原方程有整数根。 $\text{The\ end.}