详细揭秘：26 年全国 I 卷数学 T19 的构造是怎么想出来的？

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首先 d\in D(x) 当且仅当 f(x+d)>f(x) 可以改写为当且仅当 f(n)>f(m) 时 n-m\in D(m)，这个转换很好用。

（1）

易得答案为 (0,\frac{3}{2})。

（2）

分讨 x 的符号，易发现 D(x) 是直接能求出来的，然后就做完了。

（3）

（i）

直接证明是困难的，因为根本找不到一个 f(x_0)=1，考虑反证。

设 f(0)<1，考虑怎么用这个条件。容易发现 x<0 时 f(x) 的值域为 (0,1)，也就是此时必然存在 m<0 使得 f(m)>f(0)，因此 D(m)\subseteq D(0)。考虑通过求 D(m) 或其子集来产生矛盾。2^x 是单调递增的，易知 (0,-m)\subseteq D(m)\subseteq D(0)，但是 0<x<1 时 f(x)<f(0)，那么 (0,1)\cap D(0)=\varnothing，但是 (0,1)\cap (0,-m)\neq\varnothing，于是矛盾，证毕。

（ii）

求导是困难的，考虑定义法。设 x_1<x_2。

要证明 f(x_1)<f(x_2)，可等价于证明 x_2-x_1\in D(x_1)。根据性质 1，我们可以考虑证明 f(x_2-x_1)<f(k),x_2-x_1\in D(k)。

后者要求 f(k+x_2-x_1)>f(k)。由于 f(x) 在 x<0 时递增，我们只需要让 k+x_2-x_1<0 就能符合条件，不妨取 k+x_2-x_1=-1，那么 k=x_1-x_2-1。

再来看 f(x_2-x_1)<f(k) 这个条件。考虑到 f(k)>0,x_2-x_1>0，再考虑到（2）中提到的一种可行的构造：f(x) 是奇函数。我们不难想到证明 f(x_2-x_1)<0，即证明 f(x)<0 在 x>0 时恒成立。

重新读题，发现 0<x<1 可能是一个突破口，先证这一部分。

因为不存在已知的 f(x_0)=0，所以还是得反证。设 f(x)>0。

结合（i）的做法，我们想到设 m<0 使 f(m)<f(x)，那么 D(x)\subseteq D(m)，由于 f(0)=f(x-x)>f(x)，所以 -x\in D(x)，因而 -x\in D(m)，那么 f(m-x)>f(m)，因为 f(x) 在 x<0 时递增，发生矛盾，得证。

再来看 x\ge1 的部分。

因为缺少的条件只有一个 f(0)>f(x)，猜测这个证明应该和上一部分很类似，依然设 m<0 使 f(m)<f(x)，得到 D(x)\subseteq D(m)，同时 x-m\in D(m)。

发现 D(x) 没法求，D(m) 用不上，考虑寻找 D(m)\subseteq D(n)，那么 f(m)>f(n)，易知 n<m 即符合条件，此时 x-m\in D(n)，则可得 f(n+x-m)>f(n)>0。

如果 f(n+x-m)<0，这个式子就死了，考虑令 0<n+x-m<1，得到 m-x<n<m-x+1<m，取 n=m-x+\frac{1}{2}，符合条件。

于是就做完了，反着把草稿抄一遍，省略对 n,k 取值的分析，就是解答过程。

后记

其实高考结束第二天就被老师拉着做了题，不过现在 AFO 了没什么兴趣写。

个人感觉思路还是很顺畅的，难度没有传的那么逆天。

说实话感觉今年数学出的比较简单，当然场外选手说这个应该属于 P 话。

你们 AFO 后也会被拉去打 BO,MO,ChO 和 PhO 吗？