CF331C3 解题报告

Hoks · 2025-04-22 21:42:56 · 题解

前言

鸽了不知道多久的题，好玩好玩好玩。

摘自杂题选做 Part 4. dp。

思路分析

首先来看 C1。

不难发现每次贪心的减掉最大的数位一定是最优的。

所以直接预处理出 [1,10^6] 每个数中最大的数位暴力减就可以了。

然后来考虑 C2。

在 C2 中 n\le 10^{12}，O(n) 的做法并不能通过。

感性的感觉一下，操作在 n 很大的时候很多部分都是重复的（因为每次操作减的数的范围很小只有 [0,9]）。

可以考虑数位 dp，不过这里介绍一种比较无脑的做法。

因为后面的很多部分都是相同的，所以我们直接把 n 分割为前后两段 x,y，满足数 x 和数 y 拼接可以得到 n。

考虑 x 对 y 的贡献。

在 y>0 时，x 并不会发生任何变化，所以对 y 的贡献就是使 y 的数位 \max 要与 x 的数位 \max 取 \max。

考虑到数位只有 [0,9] 这些选法，不妨用 f_{y,k} 表示数 y，数位要对 k 取 \max 时的最小操作次数。

这个部分不难线性处理出。

然后来考虑对 x 的影响。

在一次将 y 减到小于 0 的数后，x 要退位也就是减一。

然后我们发现对于 x-1，对 y 的影响的计算方法其实和 x 是一样的。

所以我们只需要记录下来在 y 减完会变成什么数，然后让 x-1 就可以了。

也就是设 t_{y,k} 表示数 y，数位要对 k 取 \max 时减完的余数。

那么我们的状态就是从 x,y\rightarrow x-1,f_{y,k} 其中 k 为 x 的数位 \max。

而 x,y 的贡献是 f_{y,k} 这点我们是已知的。

所以对 x 不断减一不断做然后累加答案就行了。

需要注意的点是当 t_{y,k}=0 时要刻意减一个 k 使得 x 退位。

然后是平衡复杂度的问题，总的复杂度为 O((x+y)M)，其中 M 表示数字种类数，在本题为 10，基本不等式可以得到显然是 x=y=10^6 时最优。

比较难以理解，可以看一看代码。

首先来看 C3。

在 C3 中 n\le 10^{18}，即使是上面的根号平衡复杂度也无法通过了，那还能怎么办呢？

其实我们注意到，因为你每次减的数字只有 [1,9]，所以除了最开始的那个 y 是 n 的末尾几位，剩下的 y 在最后一次退位的时候都是形如 \overline{99999k} 形式的，其中 k 是一个数字。

所以这个 y 可能的取值其实也只有 9 种。

再附加上 x 对 y 的贡献，总共不到 100 种，是可以都预处理的。

具体的，我们把 n 划分为 x,y，其中 y 是后 12 位，x 是前面剩下的数位。

那么对于 x 我们仍然沿用 C2 的思想做，x,y\rightarrow x-1,t_{y,k} 转移。

对于 y，因为 y 的值域扩展到了 10^{12}，所以我们直接套用 C2 代码对 f_{y,k},t_{y,k} 进行计算。

根据上文所述，C3 比起 C2 新增的 f_{y,k},t_{t,k} 不超过 100 种，扔 map 里记忆化一下就好了。

代码也很相像，大概就是粘贴一遍再改一下。

复杂度 O(M^3B)，其中 B 是划分阈值，本题取了 10^6，而 M 是数字种类数，本题为 10，跑的飞快。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls (p<<1)
#define rs (ls|1)
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=1e5+10,V=2e2+10,lim=1e6,LIM=1e12,LLIM=1e18,mod=998244353,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,ans,mx[N],f[N][10],t[N][10];
map<pair<int,int>,pair<int,int>>mp;
namespace Fast_IO
{
    static char buf[1000000],*paa=buf,*pd=buf,out[10000000];int length=0;
    #define getchar() paa==pd&&(pd=(paa=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),paa==pd)?EOF:*paa++
    inline int read()
    {
        int x(0),t(1);char fc(getchar());
        while(!isdigit(fc)){if(fc=='-') t=-1;fc=getchar();}
        while(isdigit(fc)) x=(x<<1)+(x<<3)+(fc^48),fc=getchar();
        return x*t;
    }
    inline void flush(){fwrite(out,1,length,stdout);length=0;}
    inline void put(char c){if(length==9999999) flush();out[length++]=c;}
    inline void put(string s){for(char c:s) put(c);}
    inline void print(int x)
    {
        if(x<0) put('-'),x=-x;
        if(x>9) print(x/10);
        put(x%10+'0');
    }
    inline bool chk(char c) { return !(c=='#'||c=='.'||c>='a'&&c<='z'||c>='A'&&c<='Z'||c>='0'&&c<='9'); }
    inline bool ck(char c) { return c!='\n'&&c!='\r'&&c!=-1&&c!=' '; }
    inline void rd(char s[],int&n)
    {
        s[++n]=getchar();
        while(chk(s[n])) s[n]=getchar();
        while(ck(s[n])) s[++n]=getchar();
        n--;
    }
}
using namespace Fast_IO;
inline pair<int,int> solve(int n,int mxx)
{
    if(mp.count({n,mxx})) return mp[{n,mxx}];
    int ans=0;if(n==1e12) n--,ans++;
    int l=n/lim,r=n%lim;
    while(l>=0)
    {
        int Mx=max(mx[l],mxx);
        ans+=f[r][Mx];if(!l) break;
        if(!t[r][Mx]) ans++,r=lim-Mx;
        else r=lim+t[r][Mx];l--;
    }int Mx=max(mx[l],mxx);
    return mp[{n,mxx}]={ans,t[r][Mx]};
}
inline void solve()
{
    n=read();for(int i=1;i<lim;i++) mx[i]=max(mx[i/10],i%10);
    for(int j=0;j<10;j++) for(int i=1;i<lim;i++)
    {
        f[i][j]=f[max(0ll,i-max(mx[i],j))][j]+1;
        if(i-max(mx[i],j)<0) t[i][j]=i-max(mx[i],j);
        else t[i][j]=t[i-max(mx[i],j)][j];
    }if(LLIM==n) n--,ans++;int l=n/LIM,r=n%LIM;
    while(l>=0)
    {
        auto [a,b]=solve(r,mx[l]);ans+=a;if(!l) break;
        if(!b) ans++,r=LIM-mx[l];else r=LIM+b;l--;
    }print(ans);
}
signed main()
{
    int T=1;
//  T=read();
    while(T--) solve();
    genshin:;flush();return 0;
}