题解：P9408 『STA - R2』Locked

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解题思路

设 f(x,y) 为将 x 变成 y 的拨动次数，不难写出 f(x,y) 的通式：

f(x,y)=\min(\lvert(x-y+10)\bmod 10\rvert,\lvert(y-x+10)\bmod 10\rvert)

考虑使用 DP 解决：设 g_{i,j} 表示前 i 个位置单调不减且以 j 结尾的序列最小拨动次数。

显然前一项不能比后一项大，所以后一项只能由小于等于前一项的结果中取最小值，得出 DP 递推方程：

g_{i,j}=\min_{k=1}^j g_{i-1,k}+f(a_i,j)

同理，设 h_{i,j} 表示后 i 个位置单调不减且以 j 开头的序列最小拨动次数，得出 DP 递推方程：

h_{i,j}=\min_{k=1}^j g_{i+1,k}+f(a_i,j)

枚举所有的 i,j，表示以 i 为峰顶，以 j 为峰值的拨动次数，峰顶会被重复计算 1 次，所以要减去 f(a_i,j) 再取最小值，答案为：

\min_{i=1}^n \min_{j=0}^9 g_{i,j}+h_{i,j}-f(a_i,j)

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5000005;
int a[N],g[N][10],h[N][10];
int f(int x,int y)
{
    return min(abs((x-y+10)%10),abs((y-x+10)%10));
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            g[i][j]=inf;
            h[i][j]=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            for(int k=0;k<=j;k++)
            {
                g[i][j]=min(g[i][j],g[i-1][k]+min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            for(int k=0;k<=j;k++)
            {
                h[i][j]=min(h[i][j],h[i+1][k]+min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
            }
        }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            ans=min(ans,g[i][j]+h[i][j]-min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}