平面几何题建系：从入门到“已弃用”
Carey_chen
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学习·文化课
前言
本人的国庆假期作业太有意思了，于是就有了这篇文章。
怎么建系
建系其实是把几何问题转化为计算量和代数问题，本文仅讨论平面几何。
首先你需要找到一个适合建系的几何题，这样的题一般有几个特征：
- 纯几何法不太好用。
- 有明显的 90° 角或者可以作垂线。
- 要求线段的长度或者线段的等量关系。
接下来，我会从三个方面和例题讲解如何使用好建系。
从线开始
国庆作业 3 T14（节选）：
如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，把 \triangle ADE 旋转到 \triangle ABF 的位置。求证 \triangle AEF 是等腰直角三角形。
其实这题用纯几何法会快一点，这里使用建系仅作为示例。
::::info[解法]
建立如图所示的平面直角坐标系：
因为旋转，所以 AF=AE ，即 \triangle AEF 是等腰三角形。
由于题面并未给出正方形 ABCD 的边长，不妨设为 1 ，可以得到：
A(0, 1) \\
C(1, 0) \\
D(1, 1) \\
因为 E 点是动点，因此把它设为 E(1,k)。
所以：FB=ED=1-k，即：F(k-1,0)
然后解出直线 AF 和 AE 的解析式：
AF: y=\frac{1}{1-k}x+1 \\
AE: y=(k-1)x+1
又因为 \frac{1}{1-k}×(k-1)=-1 ，所以直线 AF 和 AE 的斜率相乘为 -1 ，即：AF ⊥ AE 。
所以 \triangle AEF 是等腰直角三角形。
::::
构造直角
这是昆明市盘龙区 2024\sim 2025 下学期初二数学期末考 T26(2)。
如图，在 \triangle ABC 中，BC=a ， AC=b ， AB=c ，CD 是 AB 边的中线，在 \triangle ABC 中，用 a,b,c 表示 CD^2
以下是本人在考场上的解法：
::::info[解法]
作 CE ⊥ AB ，再建立如图所示的平面直角坐标系：
不妨设 CE 长为 1 ，可以得到： C(0,1) ；
设 A(m,0) ， B(n,0)，则 D(\frac{m+n}{2},0) 用勾股定理得：
a^2 = n^2+1 \\
b^2 = m^2+1 \\
c^2 = (n-m)^2 = n^2+m^2-2mn
所以：
\begin{aligned}
CD^2
&= (\frac{m+n}{2})^2 + 1 \\
&= \frac{n^2+m^2+2mn}{4} + 1 \\
&= \frac{c^2+4mn}{4} + 1 \\
\end{aligned}
又因为：
n^2+m^2 = a^2+b^2-2
所以：
c^2 = a^2+b^2-2mn-2
即：
2mn = a^2+b^2-c^2-2
代入可得：
\begin{aligned}
CD^2
&= \frac{c^2+4mn}{4} + 1 \\
&= \frac{c^2+2a^2+2b^2-2c^2-4}{4} + 1 \\
&= \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\
\end{aligned}
所以答案就是：
CD^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}
::::
处理等角
国庆作业 3 T21(2)：
如图 \triangle ADE 由 \triangle ABC 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到，且 B 的对应点 D 恰好落在 BC 的延长线上， AD 与 EC 相交于点 P ， 点 F 是 EC 延长线上一点，且 ∠CDF=∠DAC ，求 DF 与 PF 的数量关系。
我不会纯代数证明啊。
::::info[解法]
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 AB = 1 ，易得：
B(1,0)\\
D(0,1)\\
所以：
BD: y = -x + 1
因为 C 在 BD 上，设 C(k, -k+1) ，不难得到： E(k-1, k)
所以：
EF: y = (-2k+1)x + 2k^2-2k+1
然后似乎就难以为继了，但是我们还有一个条件 ∠CDF=∠DAC 没用，考虑三角函数。
不难得到：
\tan ∠CDF = \frac{k}{-k+1}
再求出直线 DF 的斜率（也就是和 x 轴夹角的 \tan 值，记为 m），使用和角公式：
\begin{aligned}
m
&= \tan (∠CDF-45°) \\
&= \frac{\tan ∠CDF-\tan 45°}{1+\tan ∠CDF\tan 45°} \\
&= \frac{\frac{k}{-k+1}-1}{1+\frac{k}{-k+1}} \\
&= \frac{k+k-1}{-k+1+k} \\
&= 2k-1
\end{aligned}
所以：
DF:y=(2k-1)x+1
联立，求个交点：
F(\frac{k^2-k}{2k-1}, k^2-k+1) \\
P(0, 2k^2-2k+1)
再用勾股定理：
DF^2 = (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k)^2 \\
\begin{aligned}
PF^2
&= (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k -2k^2+2k)^2 \\
&= (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k)^2
\end{aligned}
所以：DF^2 = PF^2
所以：DF = PF
得证。
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总结
建系其实是几何题的通用解法，但是这通常伴随着巨大的计算量。
因此在几何题里尽量少用建系，不然你会发现你渐渐的忘记纯代数证法了（别问我怎么知道的！）
引用一位教练的名言做总结吧：
有些人把高级的数据结构学傻了，连差分这种东西都要拿线段树写。