[国家集训队] 聪聪可可 解题记录

· · 题解

前言

看到题解区全是用容斥做的，但是我太蒻了不会，所以来水一发不用容斥的题解。

题意简述

给定一棵树，边有边权，任意选择一条路径，求这条路径的长度是 3 的倍数的概率。

题目分析

易知，概率即为 \frac{合法的路径}{所有路径}。 关键在于合法路径怎么去求。

使用点分治算法，我们枚举重心 rt，对于它的每个儿子，用 dist_i 表示结点 i 在模 3 意义下距离根的长度；用 cnt_{0/1/2} 表示在遍历当前结点之前，距离根的长度为 0/1/2 的链的数量。

接下来分类讨论：

在 dfs 函数内部，我们枚举当前结点 x 的儿子，先更新 dist 数组，然后更新答案，最后才更新 cnt，因为 cnt 保存的是当前儿子之前的数据。

AC Code

// Problem: P2634 [国家集训队] 聪聪可可
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2634
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Author: Li_Feiy
#include<bits/stdc++.h>
#define arrout(a,n) rep(i,1,n)std::cout<<a[i]<<" "
#define arrin(a,n) rep(i,1,n)a[i]=read()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define dep(i,x,n) for(int i=x;i>=n;i--)
#define erg(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
#define dbg(x) std::cout<<#x<<":"<<x<<" "
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define arrall(a,n) a+1,a+1+n
#define PII std::pair<int,int>
#define m_p std::make_pair
#define u_b upper_bound
#define l_b lower_bound
#define p_b push_back
#define CD const double
#define CI const int
#define int long long
#define il inline
#define ss second
#define ff first
#define itn int
int read() {
    char ch=getchar();
    int r=0,w=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') w=ch=='-'?-1:w,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') r=r*10+ch-'0',ch=getchar();
    return r*w;
}
CI N=2e4+5,INF=1e8+5;
int n,fz,fm,rt,tot,sum,cnt[N],max[N],dis[N],dist[N],size[N],head[N];
bool tf[INF],vis[N];
std::queue<int> t;
struct edge {
    int to,nex,data;
}e[N<<1];
void add(int x,int y,int z) {
    e[++tot].to=y;
    e[tot].data=z;
    e[tot].nex=head[x];
    head[x]=tot;
}
void update_size(int x,int fa) {
    size[x]=1;
    max[x]=0;
    erg(i,x) {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa||vis[y]) continue;
        update_size(y,x);
        size[x]+=size[y];
        max[x]=std::max(max[x],size[y]);
    }
    max[x]=std::max(max[x],sum-size[x]);
    if(max[x]<max[rt]) rt=x;
}
void update_dist(int x,int fa) {
    dis[++dis[0]]=dist[x]%3;
    erg(i,x) {
        int y=e[i].to,z=e[i].data;
        if(y==fa||vis[y]) continue;
        dist[y]=(dist[x]+z)%3;
        update_dist(y,x);
    }
}
void update_cnt(int x,int fa) {
    cnt[dist[x]%3]++;
    erg(i,x) {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa||vis[y]) continue;
        update_cnt(y,x);
    }
}
void dfs(int x,int fa) {
    vis[x]=1;
    erg(i,x) {
        int y=e[i].to,z=e[i].data;
        if(y==fa||vis[y]) continue;
        dist[y]=z%3;
        update_dist(y,x);
        rep(i,1,dis[0]) {
            switch(dis[i]) {
                case 0:
                    fz+=cnt[0]*2+2;
                    break;
                case 1:
                    fz+=cnt[2]*2;
                    break;
                case 2:
                    fz+=cnt[1]*2;
                    break;
            }
        }
        dis[0]=0;
        update_cnt(y,x);
    }
    cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;
    erg(i,x) {
        int y=e[i].to,z=e[i].data;
        if(y==fa||vis[y]) continue;
        sum=size[y];
        rt=0;
        max[rt]=INF;
        update_size(y,x);
        update_size(rt,-1);
        dfs(rt,x);
    }
}
signed main() {
    n=read();
    rep(i,1,n-1) {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    sum=fz=n;
    rt=0;
    max[rt]=INF;
    update_size(1,-1);
    update_size(rt,-1);
    dfs(rt,-1);
    fm=n*n;
    while(std::__gcd(fz,fm)!=1) {
        int gcd=std::__gcd(fz,fm);
        fz/=gcd,fm/=gcd;
    }
    printf("%lld/%lld",fz,fm);
    return 0;
}