题解 P2421 【[NOI2002]荒岛野人】

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Description

题目链接：Luogu 2421

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的 M 个山洞。这些山洞顺时针编号为 1,2,\dots,M。岛上住着 n 个野人，一开始依次住在山洞 C_1,C_2,\dots,C_n 中。以后每年，第 i 个野人会沿顺时针向前走 P_i 个洞住下来。每个野人i有一个寿命值 L_i，即生存的年数。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？数据保证有解，M 的值不大于 10^6。

数据范围：1\le n\le 15，1\le C_i,P_i\le 100，0\le L_i\le 10^6

Solution

我们形象化地描述题意：

求最小的 M 使得对于任意的 i,j 使得如下同余方程无解：

C_i+xP_i\equiv C_j+xP_j\pmod M\quad (x>\min(L_i,L_j))

我们发现题目中保证 M\le 10^6，那么我们可以考虑枚举 M 并对这 n^2 个同余方程利用 \text{exgcd} 来求解并判断。

时间复杂度：O(Mn^2\log C_i)

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N=20;
int n,s[N],p[N],l[N];

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
bool check(int m) {
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=i+1;j<=n;++j) {
        int a=p[i]-p[j],b=m,c=s[j]-s[i],x,y;
        int d=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%d) continue;
        a/=d,b/=d,c/=d;
        if(b<0) b=-b;
        x=(x*c%b+b)%b;
        if(x<=l[i]&&x<=l[j]) return 0;
    }
    return 1;
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    int mx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d%d",&s[i],&p[i],&l[i]),mx=std::max(mx,s[i]);
    for(int i=mx;;++i) if(check(i)) return printf("%d\n",i),0;
    return 0;
}