题解：P2757 [国家集训队] 等差子序列

GY程袁浩 · 2025-06-02 16:05:33 · 题解

给定你一个长度为 n 的排列 a，求是否存在 1\le x<y<z\le n，使得 a_{x},a_{y},a_{z} 构成一个等差数列。

考虑枚举 y，以及公差 t。

那么就有 a_{y}+t,a_{y}-t 在 y 的左右边出现。

我们考虑一个数组 b，如果 a_{i} 在 y 的左边，b_{i}=1，否则为 0。

则原命题变换为，枚举 y，存在公差 t，使得 b_{a_{y}-t}\ne b_{a_{y}+t}。

考虑这个命题的否命题，枚举 y，对于任意的公差 t，都有 b_{a_{y}-t}=b_{a_{y}+t}。

此时可以发现，如果对于一个 y 来说，满足否命题，就意味着数组 b 以 y 为中心是一个回文串。

现在问题就变成了，有一个 01 序列，每次操作询问两个一正一反长度一样的串是否相等，或者修改一个位置上的值（枚举 y 的所需改变）。

一般而言，检验串相等的方法是哈希，我们也考虑哈希。

于是我们只需要用线段树维护区间哈希值即可。

// Problem: P2757 [国家集训队] 等差子序列
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2757
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
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// 这回只花了 1s 就打完了。
// 真好。记得多手造几组。最好有暴力对拍。

#include <bits/stdc++.h>
#define upp(a, x, y) for (int a = x; a <= y; a++)
#define dww(a, x, y) for (int a = x; a >= y; a--)
#define pb(x) push_back(x)
#define endl '\n'
#define x first
#define y second
#define PII pair<int, int>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
struct node {
    int l, r, hash, rhash;
#define l(x) tr[x].l
#define r(x) tr[x].r
#define hash(x) tr[x].hash
#define rhash(x) tr[x].rhash
};
int n, a[N];
node tr[N * 4];
const int P = 1e9 + 9, B = 131;
int ms[N];
void pu(int x) {
    int l = l(x), r = r(x);
    int mid = l + r >> 1;
    hash(x) = (1ll * hash(x * 2) * ms[r - mid] % P + hash(x * 2 + 1)) % P;
    rhash(x) =
        (1ll * rhash(x * 2 + 1) * ms[mid - l + 1] % P + rhash(x * 2)) % P;
}
void build(int x, int l, int r) {
    l(x) = l, r(x) = r;
    if (l == r) {
        hash(x) = rhash(x) = 1;
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(x * 2, l, mid);
    build(x * 2 + 1, mid + 1, r);
    pu(x);
}
void init() {
    ms[0] = 1;
    upp(i, 1, N - 1) ms[i] = (1ll * ms[i - 1] * B) % P;
}
void change(int x, int k) {
    int l = l(x), r = r(x);
    if (l == r) {
        hash(x) = 2;
        rhash(x) = 2;
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (k <= mid)
        change(x * 2, k);
    else
        change(x * 2 + 1, k);
    pu(x);
}
int qry(int x, int ll, int rr, int op) {
    int l = l(x), r = r(x);
    if (l >= ll && r <= rr) {
        if (op) return hash(x);
        return rhash(x);
    }
    int mid = l + r >> 1, sum = 0;
    if (ll <= mid) {
        sum = qry(x * 2, ll, rr, op);
        if (rr > mid) {
            int num = qry(x * 2 + 1, ll, rr, op);
            if (op)
                sum = (1ll * sum * ms[min(rr, r) - mid] % P + num) % P;
            else
                sum = (1ll * num * ms[mid - max(l, ll) + 1] % P + sum) % P;
        }
    } else if (rr > mid) {
        sum = qry(x * 2 + 1, ll, rr, op);
    }
    return sum;
}
void solve() {
    cin >> n;
    upp(i, 1, n) cin >> a[i];
    build(1, 1, n);
    bool flag = 1;
    upp(i, 1, n) {
        if (i > 1 && i < n) {
            int len = min(a[i] - 1, n - a[i]);
            if (qry(1, a[i] - len, a[i] - 1, 1) !=
                qry(1, a[i] + 1, a[i] + len, 0)) {
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        change(1, a[i]);
    }
    if (flag)
        cout << "N" << endl;
    else
        cout << "Y" << endl;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int tt;
    cin >> tt;
    while (tt--) {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}