题解 CF1228E 【Another Filling the Grid】

· · 题解

简单二项式反演。

先特判 k=1。下文假设 k\ge 2。

设 f_{i,j} 是恰好 i 行不满足要求，恰好 j 列不满足要求的方案数。要求是 f_{0,0}。

设 g_{i,j} 是对于所有方案中，选出 i 行不满足要求，j 列不满足要求的方案数之和。很明显有 g_{i,j}=\binom{n}{i}\binom{n}{j}(k-1)^{n^2-(n-i)(n-j)}k^{(n-i)(n-j)}。

根据定义，g_{i,j}=\sum\limits_{x=i}^n\sum\limits_{y=j}^n\binom{x}{i}\binom{y}{j}f_{x,y}。

二项式反演，f_{i,j}=\sum\limits_{x=i}^n\sum\limits_{y=j}^n\binom{x}{i}\binom{y}{j}(-1)^{(x-i)+(y-j)}g_{x,y}。

时间复杂度 O(n^2\log k)。可能可以进一步优化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int maxn=100010,mod=1000000007;
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll x=0,f=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,k,ans,fac[maxn],invfac[maxn];
int qpow(int a,ll b){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}
int C(int n,int m){
    return 1ll*fac[n]*invfac[m]%mod*invfac[n-m]%mod;
}
int main(){
    n=read();k=read();
    if(k==1) return puts("1"),0;
    fac[0]=1;
    FOR(i,1,n) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    invfac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    ROF(i,n-1,0) invfac[i]=1ll*invfac[i+1]*(i+1)%mod;
    FOR(i,0,n) FOR(j,0,n){
        int sum=1ll*C(n,i)*C(n,j)%mod*qpow(k-1,1ll*n*n-1ll*(n-i)*(n-j))%mod*qpow(k,1ll*(n-i)*(n-j))%mod;
//      printf("i=%d,j=%d,sum=%d\n",i,j,sum);
        if((i+j)%2==0) ans=(ans+sum)%mod;
        else ans=(ans-sum+mod)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}