题解 P5020 【货币系统】
0x3喵酱
2018-11-14 18:48:56
看起来这道题虽然有很多人写了题解但并没有太多严谨的数学证明。
本蒟蒻就来写一下自己考场上的思路。
我们把货币系统 $ (n,a) $ 看做集合 $ A $，货币系统 $ (m,b) $ 看做集合 $ B $。
那么我们首先可以猜测 $ B \subseteq A $ 。
但是这个结论并不好直接证明，在证明这个猜测前我们先来证明另一个猜测** $ A $ 集合内不能被其它数组成的数必然存在于 $ B $ 集合内**，这里使用反证法证明。
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**证明过程**
我们设 $ x\in A $ 且 $ x $ 不能被 $ A $ 集合内除它以外的元素组成。
然后我们假设 $ x \notin B $ ，那么就说明 $ B $ 集合中必然存在一些元素能够组成 $ x $ 。
那么这些元素至少存在一个不在集合 $ A $ 内并且不能被集合 $ A $ 里的元素组成的数（因为如果不存在的话集合 $ A $ 内的元素就可以组成 $ x $ 了），可以看到这与集合 $ B $ 的定义产生了矛盾。
综上所述，** $ A $ 集合内不能被其它数组成的数必然存在于 $ B $ 集合内 **。证毕。
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通过这个结论我们便可以证明 $ B \subseteq A $ 这个猜测了。这里同样使用反证法证明。
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**证明过程**
假设存在 $ x \in B$ 且满足 $ x \notin A $ 。
根据题目条件，$ x $ 必然可以被 $ A $ 集合内的数字所组成。
那么必然存在 $ a_1,a_2,...a_q \in A $ 可以用来组成 $ x $ 并且这些元素都不能被 $ A $ 集合内的元素组成（因为如果 $ a_i $ 能被 $ A $ 集合内其它数组成，那么必然可以用那些数来代替 $ a_i $），根据上一个结论我们可以知道 $ a_1,a_2,...a_q \in B $ 。
那么也就是说 $ x $ 可以被 $ B $ 集合内的数字组成，那么凡是可以用 $ x $ 组成的数都可以被 $ B $ 集合内的其它数字组成，那么也就是说即便从集合 $ B $ 中去掉 $ x $ 元素也依旧满足条件，这就与 $ B $ 集合的定义矛盾。
所以对于任意 $ x \in B $ 必然满足 $ x \in A $ ，即 $ B \subseteq A $。
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那么做这道题仅仅只需要最后一个证明了，如果你到这里都看懂了的话那应该不难想到最后一个猜测就是**在 $ A $ 集合中能被其它数组成的数必然不在 $ B $ 集合内**，事实上这个结论很显然，读者只需要稍微想想便可以想出来，这里就不写证明过程了。
那么到这里做这道题的步骤就已经显而易见了，只需要计算出 $ A $ 集合中存在多少个能被其它数组成的数计算出来就行了。
比较好想的是使用搜索算法，相信各位都会，这里就不多说了。主要讲一下使用完全背包来完成这件事。
根据常识，我们知道 $ x $ 只能被比它小的数字组成而不能被比它大的数字组成。
那么很显然，我们可以首先对数组排个序，然后对于每一个数考虑能不能被它前面的数字所组成。
我们知道如果 $ x $ 能被前 $ i $ 个数组成且组成 $ x $ 的数当中包含 $ a_i $ 那么 $ (x-a_i) $ 也必然能被前 $ i $ 个数来组成，那么我们很容易想到定义 $ f(x) $ 表示 $ x $ 能否被组成，那么根据上面的想法显然有 $ f(x) = f(x) \vee f(x-a_i) $。
那么这个样子也就是最终的解法了，个人认为这道题主要考察对集合相关概念的证明，而重点并不是动态规划，其它的题解侧重点都不太对。
最后贴出AC代码：
```cpp
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
#define MAXAI 25005
#define MAXN 105
int f[MAXAI];
int a[MAXN];
int main()
{
//freopen("money.in","r",stdin);
//freopen("money.out","w",stdout);
int i,j,n,T,ans;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d",&n);ans=n;
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
f[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(f[a[i]])
{
ans--;
continue;
}
for(j=a[i];j<=a[n];j++)
{
f[j]=f[j]|f[j-a[i]];
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
```