题解 P2070 【刷墙】

2020-02-10 17:53:15


前言

$ZHK$ 私人博客体验更佳

这道题目, $n<=10^5$ ,显然在暗示我们使用 $n \log n$ 的做法,我就是用了一个简单的贪心,通过了此题。

正文

在这道题中,我们发现,可以把 $Bessie$ 每次走的路看成是对序列的一段区间染色。

for(int i=1;i<=n;i++){
    int x;char y;
    read(x);cin>>y;
    a[i].l=position;
    if(y=='L')position-=x;//Bessie往左走
    else position+=x;//Bessie往右走
    a[i].r=position;
    if(a[i].l>a[i].r)swap(a[i].l,a[i].r);
}

这里的 $a$ 数组是一个结构体—— $node$

const int MAXN=1e5+10;
struct node{
    int l,r;//每次染色的左端点和右端点
    bool operator<(const node&b)const{
        return l<b.l;//按左端点从小到大排序
    }
}a[MAXN];

之后,我们就要说真正的思路了,我们对于 $a$ 序列排序后,会有这样一个画面。

我们定义两个变量—— $lft$ 和 $rgt$ ,记录可能区间的左端点和右端点。

这里面我们记录的是有可能和下面相交的区间,什么意思?比如那张图,我们标一下号

当我么扫描第 $1$ 个区间时,我们发现,之后有可能被覆盖到的区间是 $lft=0,rgt=15$ 。

当我们继续扫描,到第 $2$ 个区间时,我们发现,之后可能被覆盖到的区间是 $lft=15,rgt=18$ 。

可能有人会问, $5$ ~ $15$ 这段消失,我们还能理解,但是为什么 $0$ ~ $5$ 这段也没了呢,因为第 $2$ 个区间的 $l$ 都大约 $0$ 了,之后的区间肯定就更大于 $0$ 了,我们是按 $l$ 从小到大排序的啊。

所以,我可以放一下代码了:

for(int i=2;i<=n;i++)
    if(a[i].r>lft){//如果跟可能被覆盖到的区间有交
        a[i].l=max(a[i].l,lft);//这里是使得之后的代码可以少写一点,因为显然,a[i].l<lft,a[i].l~lft这1段也没有用了
        if(a[i].r>rgt){//比之前的右端点大
            ans+=rgt-a[i].l;//从rgt到a[i].l
            lft=rgt;//之前的右端点显然就是左端点,显然,新的可能被覆盖到的区间就是之前的rgt~a[i].r
            rgt=a[i].r;//更新右端点
        }else{//比之前的右端点小
            ans+=a[i].r-a[i].l;//从a[i].r到a[i].l
            lft=a[i].r;//更新左端点
        }
    }

总结

我们先来看一下完整的代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}//快读
template<typename T>void write(T x){
    if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}//快写
const int MAXN=1e5+10;
struct node{
    int l,r;//每次染色的左端点和右端点
    bool operator<(const node&b)const{
        return l<b.l;//按左端点从小到大排序
    }
}a[MAXN];
int position,ans,lft,rgt,n;
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;char y;
        read(x);cin>>y;
        a[i].l=position;
        if(y=='L')position-=x;//Bessie往左走
        else position+=x;//Bessie往右走
        a[i].r=position;
        if(a[i].l>a[i].r)swap(a[i].l,a[i].r);
    }sort(a+1,a+n+1);//排序
    lft=a[1].l;rgt=a[1].r;//给lft和rgt赋上初值
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(a[i].r>lft){//如果跟可能被覆盖到的区间有交
            a[i].l=max(a[i].l,lft);//这里是使得之后的代码可以少写一点,因为显然,a[i].l<lft,a[i].l~lft这1段也没有用了
            if(a[i].r>rgt){//比之前的右端点大
                ans+=rgt-a[i].l;//从rgt到a[i].l
                lft=rgt;//之前的右端点显然就是左端点,显然,新的可能被覆盖到的区间就是之前的rgt~a[i].r
                rgt=a[i].r;//更新右端点
            }else{//比之前的右端点小
                ans+=a[i].r-a[i].l;//从a[i].r到a[i].l
                lft=a[i].r;//更新左端点
            }
        }
    write(ans);//输出
    return 0;
}

补充一下正确性证明:

实际上作者想到这个方法的时候觉得显然是对的

其实主要就是为什么要 $lft=a[i].r$ 可能有人对此有点问题,我来解释一下

$\therefore$ 我们是按从小到大对 $a$ 数组进行排序,也就是 $a[i+1].l \geq a[i].l$ ,而 $a[i].l>lft$

$\because$ $a[i+1].l>lft$ 。