题解 P2642 【双子序列最大和】

kradcigam

2019-08-28 15:32:45

Solution

# 前言 其实这道题的关键就是在于预处理,其方法类似于 [合唱队形](https://www.luogu.com.cn/problem/P1091) # 正文 ## 求最大子段和 要想求出双子序列最大和,首先我们要会求出最大子段和 最大子段和的求值方法很简单 定义 $f_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最大子段和 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int f[1000010],a[1000010]; int main(){ int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; f[1]=a[1]; for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]); int ans=f[1]; for(int i=2;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]); cout<<ans; return 0; } ``` ## 求双子序列最大和 那么我们现在可以去求双子序列最大和 怎么求,思路是 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/75427.png) 如果你去枚举中间的数,然后去算左边的最大子段,再算出右边的最大子段,加起来,用打擂法,求出最大值,你会 $TLE$,毕竟$n<=10^{6}$ 那怎么办?我们可以预处理 我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到前 $i$ 个数的最大子段, 我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到后 $i$ 个数的最大子段 像这样 ```cpp cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i]; f[1]=x[1]; for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段 for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//更新成最大值 l[n]=x[n]; for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段 for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//更新成最大值 ``` 这里 $f_i$ 表示前 $i$ 个数中的最大字段和 这里 $l_i$ 表示后 $i$ 个数中的最大字段和 然后,用 $O(n)$ 的时间去枚举中间的数,打擂法求出双子序列最大和 上代码: ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long x[1000010],f[1000010],l[1000010]; int main(){ int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i]; f[1]=x[1]; for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段 for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//算最大子段 l[n]=x[n]; for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段 for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//算最大子段 long long ans=f[1]+l[3]; for(int i=3;i<n;i++)ans=max(ans,f[i-1]+l[i+1]);//枚举中间数 cout<<ans; return 0; } ``` # 后记 这种预处理的方法可以优化我们的时间复杂度,避免重复计算,使我们的程序跑得更快! 感谢 @kuoluo03 帮我指出错误,已改正。