题解 P4449 【于神之怒加强版】

# 前置知识 - [莫比乌斯反演](https://blog.csdn.net/qq_46230164/article/details/105877706) - [数论分块](https://blog.csdn.net/qq_46230164/article/details/105934495) 式子还是正常的推 首先，$ID_k(x)=x^k$ $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} ID_k(gcd(i,j))$$ $$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [\gcd(i,j) =d]$$ $$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [\gcd(i,j) =1]$$ $$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{D\mid \gcd(i,j)} \mu(D)$$ $$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\min(n,m)}\mu(D)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dD}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dD}\rfloor} 1$$ $$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(D)\lfloor \frac{n}{dD} \rfloor \lfloor \frac{m}{dD} \rfloor$$ 设 $T=dD$ $$\sum_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T} ID_k(d) \mu(\frac{T}{d})$$ 我们发现后面这个东西就是狄利克雷卷积 我们管它叫 $f$ 函数 也就是说 $$f=ID_k*\mu$$ 由于积性函数卷积性函数还是积性函数 对于 $x\in prime$ $f(x)=x^k-1$ 这样子就直接在线性筛的时候算一下就好了 代码： ```cpp void sieve(){ f[1]=1; for(int i=2;i<MAXN;i++){ if(!vis[i]){ prime[++prime[0]]=i; f[i]=(pw(i,k)-1+Mod)%Mod; } for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++){ vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=f[i]*(f[prime[j]]+1)%Mod;break;} f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%Mod; } } for(int i=1;i<MAXN;i++)s[i]=(s[i-1]+f[i])%Mod; } ```