支配树详解

2019-02-25 22:03:54


2019.3.3 update:修改了证明的格式,给模板代码加上注释

2019.3.3 update:加上了一道例题讲解

2019.3.3 update:加上了latex

支配树概念

给定一个有向图,给定起点S,终点T,要求在所有从S到T的路径中,必须经过的点有哪些(即各条路径上点集的交集),称为支配点。简而言之,如果删去某个点(即支配点),则不存在一条路径能够使S到达T。由支配点构成的树叫做支配树

假设下图为给定的有向图

支配树的性质

支配树是一颗由起点S为根的树,根到树上任意一点路径经过的点都是它的支配点。 对于每颗子树,都符合上述性质(即子树内一点到该子树的根路径经过的点都是该子树的根的支配点)

支配树的算法——Lengauer Tarjan

前置知识

学会构建dfs树,对于dfn序有简单的了解

对于树上两点路径有初步的认识,知道LCA的概念

知道带权并查集的合并方法(合并子树时需要使用)

主要变量

1:$dfn[x]$,表示x的dfs序(若没有说明,下文文中节点大小比较默认为比较两个点的dfn大小)

2:$sdom[x]$,表示x的半支配点

3:$idom[x]$,表示x的最近支配点

4:完全祖先:不包含自身的祖先节点

5:完全后代:不包含自身的子节点

关于 $dfs$ 树,此处存在一个定理

若 $u,v$ 是 $dfs$ 树上的任意两个节点,那么从u到v的路径上必然存在某个点为这两个点的 $LCA$(最近公共祖先)

证明:对于树上两点的路径,必然存在一个深度最小的点,使得两点路径必然经过该点。可以形象理解为一个爬树的过程,即从一个点出发,慢慢向上爬,必然访问到一个最高点后再慢慢向下走,最终访问到另外一个节点,那么那个最高点就可以形象地理解为这两个点的LCA。

关于半支配点

定义

对于一个节点U,存在V能够通过许多点(不包含V和U)到达点U

且对于任意i都有$dfn[i]>dfn[U]$,对于所有满足条件的V中能使dfn[V]最小的V称为半支配点 即$sdom[U]=V$

简而言之 $sdom[w]=min${$v|$存在路径$v=v_0, v_1, ..., v_k=w$使得$v_i>w$对$1<=i<=k-1$成立}.

性质

1:半支配点是唯一的(但是支配点可以有多个)

证明:根据半支配点的定义,因为是路径中节点的最小值,所以只有一个

2:对于任意点w,它的半支配点必定是它在$dfs\ tree$上的祖先

证明:假设w在dfs树上的父亲节点为$w_1$,根据dfs树的定理可知,必然有$sdom[w]>=w_1>w$。

且存在一条路径 $sdom[w]=\{v_0, v_1, ..., v_k=w$ ,使得$v_i>w$对$1<=i<=k-1$成立。}

又根据dfs树的性质,存在某一节点$v_i=LCA(sdom[w],w)$。 但因为$v_i<sdom[w]$,所以$v_i=sdom[w]$,且$sdom[w]$是$w$的一个完全祖先,结论得证

3:对于任意节点$w$(w不等于起点s)的支配点必然是该节点的半支配点的祖先节点

证明:根据上述性质,我们可以证明$sdom[w]$和$idom[w]$是节点$w$的完全祖先。

假设我们已经得到了一条从起点$s$到$w$的链,根据半支配点的定义,这条路径中必定不包含w的完全祖先和$sdom[w]$的完全后代,那么$idom[w]$必然是$sdom[w]$的祖先节点,结论得证

4:假设 存在$v,w$且$v$是$w$的祖先,那么$idom[w]$不为v的后代就为$idom[v]$的祖先

证明: 设存在某一x是$idom[w]$的任意一个完全后代,且同时是v的完全祖先。

则必然存在一条从s到v且不经过x的路径。我们再找到一条从v到w的路径,将这两条路径连接起来,我们就得到了一条从s到w不经过x的路径。

因此$idom[w]$要么是v的后代,要么是$idom[v]$的祖先。

求取方法

对于任意点$u(u≠S)$,若点U和点V之间存在路径

$sdom[u]$=$min$({v|(v,u)∈E且v<u}∪{sdom[k]|k>u}且存在边(v,u)满足k是v的祖先})

简而言之

if(dfn[u]>dfn[v]) sdom[u]=min(v);
else sdom[u]=min{sdom[k]}
//对于∀k满足dfn[k]>dfn[U]且k能到达U

证明(本段证明翻译于tarjan的本人思路):

设x等于上式右端。我们首先证明$sdom(w)<=x$。

如果x使得x能到达w且$dfn[x]<dfn[w]$,那么有$sdom(w)<=x$。

另一种情况,$x=sdom[w]$,$dfn[u]>dfn[w]$,且存在边$(v,w)$满足u是v的祖先节点。

存在一条路径{$x=v_0, v_1, ..., v_j=u$,使得$v_i>u>w$对$1<=i<=j-1$成立。}

而树上路径$u->v$满足$vi>=u>w$对$j<=i<=k-1$成立。

因此路径$x=v_0, v_1, ..., v_{k-1}=v$满足$v_i>w$对$1<=i<=k-1$成立。所以$sdom(w)<=x$。

我们还需要证明$sdom[w]>=x$。

假设存在一条路径$sdom[w]$={$v_0, v_1, ..., v_k=w$,使得$v_i>w$对$1<=i<=k-1$成立。}

若k=1,那么存在一条路径从$sdom[w]$到w。而根据上述引理,却有$sdom(w)<w$。于是$sdom(w)>=x$。

对k>1的另一种情况,设j是使得$j>=1$并且$v_j$是$v_{k-1}$的祖先的最小值。这样的j一定存在,因为j可以等于k-1.

我们断言:对于$1<=i<=j-1$,$v_i>v_j$成立。

否则,我们选取所有满足$1<=i<=j-1$且$v_i<=v_j$的i中使得v_i最小的那个。

由上述性质,$v_i$是$v_j$祖先,和j的选择矛盾。这证明了结论。

根据上述证明,$sdom[w]>=sdom$ $[v_j]$>=x。因此无论k=1还是k>1,都有$sdom[w]>=x$,定理得证.

虽然看起来很复杂,但是仔细理解一下还是容易看懂的(我自己实在想不出能够比这个更合理更正确的证明方法,就直接引用原文了)

关于最近支配点

定义

如果图中存在节点v,w,且v支配w,并且w的其他支配点均支配v,我们就称v是w的最近支配点,记作$idom[w]=v$

应用

通过已知$sdom$推导得$idom$

令集合P={$x$到$sdom[x]$路径上的点集}

令元素$k=min(dfn[P[i]])$

if(sdom[k]==sdom[x]) idom[x]=sdom[x]
else idom[x]=iodm[z]

证明(不好意思又是来自tarjan老爷子的论文,我努力简化了一下,尽量不违背原文意思,毕竟不能误人子弟):

若需要证明上述结论,只需要分别证明两个结论

考虑$sdom[w]$支配了w。

考虑任意一条从s到w的路径p。设x为这条路径上最后一个满足$x<sdom[w]$的点。若无此x,则$sdom[w]$一定支配w。

否则,设y是路径上x之后,满足$sdom[w]$是y的完全祖先,而y又是w的完全祖先的第一个点。

设路径$q=(x=v_0, v_1, v_2, ..., v_k=y)$是路径p中从x到y的一部分。对于$1<=i<=k-1$,有$v_i>y$。

否则如果有$v_i<y$,那么存在某个满足$i<=j<=k-1$的$v_j$是y的祖先。由于x的选择方式,一定有$v_j>=sdom[w]$,这意味着$sdom[w]$和y的选择矛盾。从而证明了上述观点

这一观点加上半支配点的定义,成功得到了$sdom[y]<=x<sdom[w]$.根据定理的假设,y不可能是$sdom[w]$的完全后代。这意味着$y=sdom[w]$,且$sdom[w]$位于路径p上。由于路径p是任意的,$sdom[w]$支配了w。证毕。

关于算法实现

1:先对这张图进行一遍dfs,求出dfn

2:求出sdom

根据sdom的上述性质,我们可以通过根据dfn大小从大到小遍历,那么我们查询的都是祖先链,根据定义我们可以很轻松地求出sdom

3:保留dfs tree 上的节点和边,那么显然,原图变为了一个DAG

然后再将点丢到支配树中,在做这个操作之前,我们需要先求出该点祖先链中sdom的最小值,然后这个点会成为一颗子树的根,通过带权并查集维护各个子树并连接。最后通过sdom求出idom,算法就完成了

代码实现

支配树模板题

题意:给定一张有向图,求从1号点出发,每个点能支配的点的个数(包括自己)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;
    char c=getchar();
    bool flag=0;
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x+(x<<2)<<1)+ c-'0';c=getchar();}
    return flag?-x:x;
}
const int N=2e5+10;
int n,m,ans[N],dfn[N],id[N],tot,dep[N];
int ffa[N],fa[N],semi[N],val[N],du[N],ff[25][N];
queue<int>q,q1;
vector<int>cg[N];
struct node
{
    vector<int>edge[N];
    inline void add(int u,int v){edge[u].push_back(v);}
}a,b,c,d;
inline void dfs(int x,int f)
{
    dfn[x]=++tot,id[tot]=x,ffa[x]=f,c.add(f,x);
    for(int i=0;i<a.edge[x].size();++i) if(!dfn[a.edge[x][i]]) dfs(a.edge[x][i],x);
}
inline void dfs_ans(int x)
{
    ans[x]=1;
    for(int i=0;i<d.edge[x].size();++i) dfs_ans(d.edge[x][i]),ans[x]+=ans[d.edge[x][i]];
}
inline int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    int tmp=fa[x];fa[x]=find(fa[x]);
    if(dfn[semi[val[tmp]]]<dfn[semi[val[x]]]) val[x]=val[tmp];
    return fa[x];
}
inline int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int d=dep[x]-dep[y];
    for(int i=20;i>=0;i--) if(d&(1<<i)) x=ff[i][x];
    for(int i=20;i>=0;i--) if(ff[i][x]^ff[i][y]) x=ff[i][x],y=ff[i][y];
    return x==y?x:ff[0][x];
}
inline void tarjan()
{
    for(int i=n;i>=2;--i) 
    {
        if(!id[i]) continue;
        int x=id[i],res=n;
        for(int j=0;j<b.edge[x].size();++j)
        {
            int v=b.edge[x][j];
            if(!dfn[v]) continue;
            if(dfn[v]<dfn[x]) res=min(res,dfn[v]);
            else find(v),res=min(res,dfn[semi[val[v]]]);
        }
        semi[x]=id[res],fa[x]=ffa[x],c.add(semi[x],x);
    }
    for(int x=1;x<=n;x++) for(int i=0;i<c.edge[x].size();++i) du[c.edge[x][i]]++,cg[c.edge[x][i]].push_back(x);
    for(int x=1;x<=n;x++) if(!du[x]) q.push(x);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();q1.push(x);
        for(int i=0;i<c.edge[x].size();++i) if(!--du[c.edge[x][i]]) q.push(c.edge[x][i]);
    }
    while(!q1.empty())
    {
        int x=q1.front(),f=0,len=cg[x].size();q1.pop();
        if(len) f=cg[x][0];
        for(int j=1;j<len;j++) f=LCA(f,cg[x][j]);
        ff[0][x]=f,dep[x]=dep[f]+1,d.add(f,x);
        for(int p=1;p<=20;p++) ff[p][x]=ff[p-1][ff[p-1][x]];
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=val[i]=semi[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=n-read()+1,v=n-read()+1;
        a.add(u,v),b.add(v,u);
    }
    dfs(n,0);tarjan();dfs_ans(n);
    for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d ",ans[i]);
}

例题:灾难

题意:给定一个DAG,求如果删去一个点有多少个点会被影响(即灭绝)

分析:其实看明白了就是一道支配树板子题。因为每个点之间都存在依赖关系,如果删去某个点,对于任意一个原先有入度的点说,如果因此没有入度,那么它就死了,并且删除与它相连的边,然后重复迭代以上步骤直到没有点死去

然后我们把边反向然后观察可以发现:如果说删除了一个点后某个点无法连向原图中无入度的点(注意是原图中的入度,反图中就是出度),那么它就死了

但是对于原图中,存在某些点没有入度(即生产者,不依赖任何东西),那么我们只需要建一个超级源点把这些没有入度的点连接起来,然后跑网络流,那么那个点则为我们的起点,而题目也转换为模板题了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() { int x=0; char c=getchar(); bool flag=0;
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x+(x<<2)<<1)+ c-'0';c=getchar();} return flag?-x:x;
}
const int N=2e5+5;
int n,m;
struct node {
    vector<int>edge[N];
    inline void add(int u,int v) {
        edge[u].push_back(v);
    }
} a,b,c,d;
int dfn[N],id[N],fa[N],cnt;
//dfn表示dfs序,id表示序号所对应的点,fa记录点u的父亲节点 
void dfs(int u) 
{
    dfn[u]=++cnt;id[cnt]=u;
    int len=a.edge[u].size();
    for(int i=0; i<len; ++i) 
    {
        int v=a.edge[u][i];
        if(dfn[v])continue;
        fa[v]=u;
        dfs(v);
    }
}
int sdom[N],idom[N],bel[N],val[N];
//sdom表示半支配点,idom表示支配点 
//val[x]表示从x到其已经被搜过的祖先的dfn的最小值val[x]
//bel[x]表示并查集中的fa 
inline int find(int x) 
{
    if(x==bel[x])return x;
    int tmp=find(bel[x]);
    if(dfn[sdom[val[bel[x]]]]<dfn[sdom[val[x]]]) val[x]=val[bel[x]];
    //用sdom[val[x]]更新sdom[x] 
    return bel[x]=tmp;
}
inline void tarjan() 
{
    for(int i=cnt; i>1; --i)//在dfs树上遍历,从大到小 
    {
        int u=id[i],len=b.edge[u].size();
        for(int i=0; i<len; ++i) 
        {
            int v=b.edge[u][i];
            if(!dfn[v])continue;//不在dfs树上 
            find(v);
            if(dfn[sdom[val[v]]]<dfn[sdom[u]]) sdom[u]=sdom[val[v]];
        }
        c.add(sdom[u],u);
        bel[u]=fa[u],u=fa[u];
        len=c.edge[u].size();
        for(int i=0;i<len;++i) 
        {
            int v=c.edge[u][i];
            find(v);
            if(sdom[val[v]]==u) idom[v]=u;
            else idom[v]=val[v];
        }
    }
    for(int i=2;i<=cnt;++i) 
    {
        int u=id[i];
        if(idom[u]!=sdom[u]) idom[u]=idom[idom[u]];
    }
}
int ans[N];
void dfs_ans(int u) 
{
    ans[u]=1;
    int len=d.edge[u].size();
    for(int i=0;i<len;++i) 
    {
        int v=d.edge[u][i];
        dfs_ans(v);
        ans[u]+=ans[v];
    }
}
int du[N];
int main() 
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int k=read();k;k=read(),++du[i])
    a.add(k,i),b.add(i,k);
    for(int i=1;i<=n;++i) sdom[i]=bel[i]=val[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i) if(du[i]==0) a.add(0,i),b.add(i,0);
    dfs(0);
    tarjan();
    for(int i=1;i<=n;++i) d.add(idom[i],i);
    dfs_ans(0);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]-1);
}

这个算法的时间复杂度是O(($n+m$)$log$($n$))或者O(($n+m$)$α$),空间复杂度是O(n)。

图片以及主要思路来源于tarjan的论文 (提取码:wnvy )