题解 P5658 【括号树】

>这里是墨攸，平生没有什么爱好，~~就喜欢做T2~~（不好意思这次T2做得我心态炸了） ## 最完整的题解！不服求超过~~QWQ # 2019 - CSP-S DAY-1 T2 括号树 - **$\text{Update}$ $19-11-23:$ 修复了一些文本上的小错误。** 话说看的人居然有这么多，真是受宠若惊qwq ---- $ok$和你们聊聊我考场上的心路历程吧： **跟着心路历程走，更容易懂这道题哦！** ------------ 开题。 woc这是什么东西？完全没有思路啊！！！！ 想了$10min$，决定先敲个暴力。 ## 1、暴力：10~20pts，复杂度$O(n^4)$，只能解决链 暴力很容易就会了。 因为只解决链，所以不用建树，用一个数组存就可以了。恰好这题很良心，编号为 $i$ 的祖先恰好是 $i-1$，也就是说本身编号就是顺序的（~~不像毒瘤T3，链的编号还有可能乱序~~） 先套一重$for$ 枚举 $i$，代表从根节点走到了 $i$ 号节点。由于要计算 $1-i$ 中究竟有多少个子括号序列，所以我们还需要枚举左端点 $l$ 和右端点 $r$，表示枚举到区间为$[l,r]$的子括号序列。然后还要写一个判断括号是否匹配的$check$子函数。子函数的复杂度为$O(r-l)$。 $check$子函数应该都会写吧，开栈来判断即可。具体可以看[这题](https://www.luogu.org/problem/P1739)。 $3$重循环套一个$check$，所以复杂度为 $O(n^4)$。实际上是跑不满的，所以有望过 $n=200$ 的数据。 ## 2、55pts，复杂度$O(n)$，只解决链 发现链居然有$55pts$的友好分，果断开链。 观察我们暴力究竟慢在哪里了？无非就是计算 $1-i$ 之中有多少个匹配的括号子序列。 观察数据，发现数据 $5e5$，讲道理 $O(nlogn)$ 跑这样的数据本身就带悬。加上 $\text{CCF}$ 老年机的 $\text{debuff}$ ，还真的没法保证能跑过去。 ~~我深信~~ $\text{CCF}$ 是不会卡常的 (jiade) ，所以我当时就在想，只能$O(1)$计算每次的贡献值。 怎么 $O(1)$ 计算呢？不知道啊，要不来举几个例子推一推？ **注意，以下的例子第一个字符的下标均为$1$** ------------ ``` 例子1： ()()() ``` 我们发现，$i=2$ 的时候，对答案的贡献值为 $1$。而 $i=4$ 的时候，本身 $[3,4]$就有一个满足要求的括号序列，在合并上前面的成为$[1,4]$，同样满足，于是对答案的贡献值就为$2$，再加上前面$[1,2]$本身有的括号序列，总共为 $3$。 $i=6$时同理，总共的贡献值为 $3$，加上前面的有 $3+3=6$ 种。其他位置均没有贡献。 换句话说，$i$为$1-6$时对答案的贡献分别为$0,1,0,2,0,3$，合并后的总答案为$0,1,1,3,3,6$ ------------ ``` 例子2: ())() ``` 继续前面的思想，$i=2$时，对答案贡献$1$。而$i=3$时，由于不满足成匹配的括号序列，所以没有贡献。而$i=5$时，由于$i=3$多了一个后括号，$[1,3]$不匹配，导致$[1,5]$成不了一个匹配的括号序列。故对答案的贡献仍为 $1$ $i$为$1-5$时对答案的贡献分别为$0,1,0,0,1$，合并后的总答案为$0,1,1,1,2$ ------------ ``` 例子3: ()(()) ``` 接着刚刚的分析，$i=2$时，贡献为$1$，而$i=5$时，由于$i=3$在中间断开，使$[1,5]$不能匹配，所以贡献仍为$1$。 当$i=6$情况有了变化。我们发现$[1,2]$是匹配的。故$[1,2],[3,6]$能合成一个匹配的序列，故对答案贡献为$2$。 $i$为$1-6$时对答案的贡献分别为$0,1,0,0,1,2$，合并后的总答案为$0,1,1,1,2,4$ ------------ **ok，理论的分析就先告一段落了！有没有发现什么规律？** 我们发现，一个后括号如果能匹配一个前括号，**假设这个前括号的前$1$位同样有一个已经匹配了的后括号，那么我们势必可以把当前的匹配和之前的匹配序列合并，当前的这个后括号的贡献值，其实就等于前面那个后括号的贡献值$+1$！** **这是一个非常重要的结论，可以在递推过程中，直接完成 $O(1)$ 计算贡献值！** 你可以用这个结论带入到前面的例子中推一下，马上就明白了（不要嫌麻烦，嫌麻烦就做不了题。考场上就是要多手推） 有了贡献值，当前位置答案总和就很好算了。很明显，第 $i$ 位的总和等于 $i-1$ 位的总和 加上 第 $i$ 位的贡献值。 **那怎么判断括号是否匹配呢？** 我们同样可以用[这题](https://www.luogu.org/problem/P1739)的思想开栈做。每次压入一个括号然后进行操作即可。 **就算后括号匹配了，那我又如何知道前括号的位置呢？** 其实也很简单。我们把压入括号改一改，不压括号，取之而代，压入前括号的位置即可。判断是否匹配只需要看栈里有没有数即可。 我们用 $lst[i]$ 表示第 $i$ 位的贡献，$sum[i]$ 表示第 $i$ 位的答案总合。那么就有： ```cpp //s是栈，top是栈顶，手写栈貌似要快很多。 if(c[i] == ')') //是后括号 { if(top == 0) continue; //栈为空，则没有匹配 int t = s[top]; //匹配的前括号的位置 lst[i] = lst[t - 1] + 1 //结论计算贡献值 top --; } else if(c[i] == '(') s[++ top] = i; //是前括号，就压入它的位置 sum[i] = sum[i - 1] + lst[i]; //计算总和 ``` 很容易发现，这样处理一个位置的总和其实是$O(1)$的 当然整个代码要放进一个循环里。完整代码如下： ```cpp for(int i = 1; i <= n; i ++) //好吧只多了个循环.... { if(c[i] == ')') { if(top == 0) continue; //判断栈是否为空 int t = s[top]; //匹配的前括号的位置 lst[i] = lst[t - 1] + 1 //结论计算贡献值 top --; } else if(c[i] == '(') s[++ top] = i; //是前括号，就压入它的位置 sum[i] = sum[i - 1] + lst[i]; //计算总和 } ``` **这样，你就有了 55pts 稳稳的分！** ## 2、100pts，复杂度$O(n)$，正解 解决了链，有了稳稳的 55pts。想想好像可以实现化链成树，果断开正解。 很明显，我们解决链的做法在树里有很多行不通的地方。 **细细想来，困难主要出现在这$2$个方面。** 首先，你没法遍历整颗树的时候编号是连续的。这代表着我们 `lst[i] = lst[t - 1] + 1` 这样计算是完全行不通了。 其次，遍历一棵树必然会有递归和回溯。而处理链我们不考虑回溯，一直向下找就可以找完了。 但是我们怎么能退缩呢？！大家跟我一起念！~~（我们遇到什么困难，也不要怕！微笑着面对他....）~~ 咳咳，言归正传，我们来解决这两个问题。 -------------- **先看第一个问题** 冷静分析一波，你会发现，虽然编号不连续了，但是你的括号序列**一定是从父节点传递下来的！** 仔细一想，我们发现，在链的情况里，为什么能用 `lst[i] = lst[t - 1] + 1` 计算贡献？其实，$t-1$ 就是 $t$ 的父亲节点！无非是 $[t,i]$ 的括号序列继承了 $[1,t-1]$，也就是 $[1,fa[t]]$ 的括号序列！（$fa[i]$ 代表 $i$ 的父亲） 然后我们惊喜的发现，这条定则对于树完全适用。 于是我们就可以修改一波原来的柿子： `lst[i] = lst[t - 1] + 1` $->$ `lst[x] = lst[fa[t]] + 1;` $\text{perfect}$！ 当然计算总答案也要修改： `sum[i] = sum[i - 1] + lst[i];` $->$ `sum[x] = sum[fa[x]] + lst[x];` 这样我们就解决了问题$1$ -------------- **接下来考虑解决第二个问题：** 在树中遍历有回溯，回溯后栈里的信息可能就无法对应当前的版本... 其实这个问题很容易解决。由于每次回溯只回溯一层，所以我们在回溯的时候，执行我们递归时相反的操作即可！ 比如，如果我们扫到右括号，递归时如果栈不为空，照理来说会弹出一个位置信息。 **那么我们就可以记录这个信息，回溯的时候再把它压回去，又变成了我们当前的版本。** 扫到左括号也一样。**我们会压入一个位置信息，那么回溯时，直接弹出这个压入的信息就可以了！** 其实这也相当于“复原”操作，让栈里的信息永远留在我们现在的状态！ 递归代码就很好写了： ```cpp //我使用的链表存图qwq，head,nxt,to都是链表所用（应该都看得懂吧？） void dfs(int x) { int tmp = 0; if(c[x] == ')') { if(top) { tmp = s[top]; lst[x] = lst[fa[tmp]] + 1; -- top; } } else if(c[x] == '(') s[++ top] = x; sum[x] = sum[fa[x]] + lst[x]; //如上所述 for(int i = head[x]; i; i = nxt[i]) dfs(to[i]); //递归 //回溯复原操作 if(tmp != 0) s[++ top] = tmp; //不为 0 代表有信息被弹出 else if(top) -- top; //为 0 代表没有弹出，如果栈不为空说明一定压入了一个信息，需要弹出这个信息复原 } ``` 跑过小数据了，跑过中样例了，跑过大样例了！ 恭喜你切了这道题qwq！！ 下面就放完整代码吧！ ## $\text{Code}$ ```cpp #include<bits/stdc++.h> #define orz 0 #define inf 0x3f3f3f3f #define ll long long #define maxn 500005; using namespace std; int n; char c[maxn]; int head[maxn], nxt[maxn], to[maxn], cnt, fa[maxn]; ll lst[maxn], sum[maxn], ans; int s[maxn], top; void add_edge(int u, int v) { nxt[++ cnt] = head[u]; head[u] = cnt; to[cnt] = v; } void dfs(int x) { int tmp = 0; if(c[x] == ')') { if(top) { tmp = s[top]; lst[x] = lst[fa[tmp]] + 1; -- top; } } else if(c[x] == '(') s[++ top] = x; sum[x] = sum[fa[x]] + lst[x]; //如上所述 for(int i = head[x]; i; i = nxt[i]) dfs(to[i]); //递归 //回溯复原操作 if(tmp != 0) s[++ top] = tmp; //不为 0 代表有信息被弹出 else if(top) -- top; //为 0 代表没有弹出，如果栈不为空说明一定压入了一个信息，需要弹出这个信息复原 } int main() { scanf("%d", &n); scanf("%s", c + 1); for(int i = 2; i <= n; i ++) { int f; scanf("%d", &f); add_edge(f, i); fa[i] = f; } dfs(1); for(int i = 1; i <= n; i ++) ans ^= sum[i] * (ll)i; printf("%lld", ans); return orz; } ``` **顺带提醒！不仅 $ans$ 要开 $long~long$，$lst$ 和 $sum$ 同样需要！否则你会被构造数据卡得崩溃...** ## 总结 一步一步分析，这道题是不是就没有这么难了？ 这也告诉了我们，考场上，一开始绝对不要先想正解，先看一看部分分，对你想正解有帮助哦！ 很明显，我们这次解题的步骤就是由 暴力 -> 链 -> 正解的！ --------- **希望能帮到你们哦！** ~~这篇题解码了287行，写了快1h30min了...可不可以点个大拇指啊QAQ，谢谢各位DALAO啊啊啊啊QAQ~~