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扩展欧几里得算法(EXGCD)学习笔记

2021-03-15 22:31:23


0.前言

相信大家对于欧几里得算法都已经很熟悉了。再学习数论的过程中,我们会用到扩展欧几里得算法(exgcd),大家一定也了解过。这是本蒟蒻在学习扩展欧几里得算法过程中的思考与探索过程。

1.Bézout定理

扩展欧几里得算法利用归纳法,证明了Bézout定理。

Bézout定理:对于任意整数 $a$,$b$ ,存在一对整数 $x$,$y$,满足 $ax+by=gcd(a,b)$

在扩展欧几里得的算法中,我们求出 $x$,$y$ 的值。

2.证明

2.1 $gcd$

首先,我们来看一下 $gcd$ 函数

int gcd (int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

在第二行,也就是递归终止时,$b=0$ 且 $a=gcd(a,b)$。 我们可以发现存在一对整数 $x$,$y$ 满足条件 $ax+by=gcd(a,b)$。 将已知的值代入可得:

$ax+b*0=gcd(a,b)$

∵$a=gcd(a,b)$

∴$gcd(a,b)*x=gcd(a,b)$

∴$y$在终止时可取任意值,$x=1$

2.2归纳法

我们在2.1中得到了 $b=0$ 时的解。现在,我们用归纳法一步步得到最终解。当 $b>0$ 时,我们假设 $b*x$ 满足条件 $b*x+(a\,mod\,b*y)gcd(b,a\,mod\,b)$(代入的值也正是我们平时进行gcd的转移方程)$∵ bx+(a\,mod\,b)y=bx+[a-b(a/b)]y$

$∴ bx+(a\,mod\,b)y=bx+ay-by(a/b)$

$∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+bx-by(a/b)$

$∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+b[x-(a/b)y]$

令 $x_1=y$, $y_1=x-(a\,mod\,b)y$,再代入已得到的式子,就能得到:$ax_1+by_1=gcd(a,b)$,所以可以得出Bézout定理成立。

3.代码实现

3.1思路简述

我们的代码在截止条件上与 $gcd$ 相同,都是 if(b == 0)时停止递归。我们在此基础上再改变 $x$ 和 $y$ 的值。

3.2参考代码及注释

大部分都按照前面的推导过程

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { //x,y的初始值无关
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;//改变x,y的值(y可取任意值)
        return a;
    } else {
        int tmp = exgcd(b, a % b, x, y);//保存下一次的最大公约数
        int z = x; //存储上一次的x
        y = x; //及上文中的y1
        x = z - y * (a / b); //及上文中的x_1
        return tmp;//返回最大公约数
    }
}