Hexarhy's Room

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「宇宙很大,生活更大,我们还会再相遇的。」

快速入手拓扑排序

posted on 2019-01-26 23:41:36 | under 教程 |

快速入手拓扑排序


目录

1. 前言

2. 基本思路

3. 模拟思路

4.代码实现

5. 例题

6. 参考文献与鸣谢


1.前言

在正式讲拓扑排序之前,我们来引入一下,以便各位更好理解。(所有有向图出品于$Xmind$

​ 首先,你想学习计算机的原理怎么办?(白手起家)肯定有很多前置知识啊!流程图就像下面:

XMIND

​ 很明显,此时你需要按一定顺序(这个顺序叫 “拓扑序列”)学习才能彻底了解计算机原理。那么这个顺序怎么求呢?拓扑排序帮你忙!

前置知识:图的基本概念以及建图编程能力


2.基本思路 & 实现

​ 首先,对于点的关系,大致分为$2$种关系:

  1. 先后关系,如上图的 “数学” 与 “物理学” 的关系。

  2. 并列关系(应该叫做“没有关系”),如上图的 ”物理学“ 和 “计算机发展史” 的关系。

不难发现,因为有了并列关系,拓扑序列不一定是唯一的

​ 如上图,可以得到很多个拓扑序列,这里只举一个例子,其他的相信大家都会看。

上图的一个拓扑序列:12345678

​ 那么大家不难发现,拓扑排序的时候,大家总会找入度为$0$的点,因为这是你不用学习的点,可以直接解锁。

​ 找到了之后, 你就可以把这个点放到序列里,那么随之就有新的点的入度为$0$,然后重复上述知道图空。

​ 以上就是拓扑排序的基本思路!我们可以简述为:

  1. 从图中,选择一个入度为$0$的点,并输出该顶点;

  2. 从图中,删除该顶点,以及相关联的边;

  3. 重复上述步骤,知道输出所有点。

(原来如此简单!)

​ 下面带大家模拟一遍拓扑排序的过程(大家觉得烦可以跳过)。


3. 模拟思路

​ 首先,可以轻易发现,只有点$1$是入度为$0$,因此, 把它输出,删除点$1$和边$A$、$B$。如下图:

​ 糟了,有$4$个点的入度为$0$怎么办?

​ 不着急,由于拓扑序列不止一个的原因,怎样都行,我就按照从小到大来。

​ 但是为了加快进度,我们直接删掉$4$个点,并从小到大入拓扑序列,同时删除$H$、$C$、$E$、$F$、$D$、$G$六条边!

​ 现在就很明了啦,把点$6$、$7$和相关的边删掉,入队,再把点$8$删掉就完工!

最终拓扑序列:12345678

​ 关键来了,怎么用代码实现呢?(其实也不考码力(>_<)啦)


4. 代码实现

​ 拓扑排序一般有三种实现方法(建图是必不可少的):

  1. 算法设置一个队列(方便使用优先队列,从小到大输出),将所有入度为$0$的顶点入队。找入度为$0$的顶点,只要依次出队即可。删除边的操作转化为将该点关联的所有点的入度减$1$。此算法有点像$bfs$(我喜欢用这个)

  2. 类似于$dfs$ 用一个来存排序后的顺序,从一个顶点开始访问,依次访问它的邻接顶点,回溯的时候将当前结点压入栈。此时入度为$0$的顶点(因为你已经访问过所有邻接顶点)一定是最后压入栈的。

  3. 直接用$dfs$搜索各个节点,码量小,时间复杂度只在常数上比上面慢。因此这里不再赘述这种方法。

    现在很明显,由于要改变点的入度,因此我们需要一个数组保存入度(核心),并执行相应操作。

​ 对于有向无环图,输出拓扑序列(保证只有一种)的程序。程序如下(用邻接矩阵和方法$1$):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int MAXN=10005;
int n,m,cnt;//cnt是为了存储ans数组的下标
bool a[MAXN][MAXN];//邻接矩阵建图用
int indeg[MAXN],ans[MAXN];
//indeg[i]是第i个点的入度;ans[]是答案队列
queue <int> q;//

void input(void)
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x][y]=1;
        indeg[y]++;//建图,同时统计入度
    }
} 

void topo_sort(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(indeg[i]==0)
      q.push(i);//将所有入度为0的点入队
    while(!q.empty())//开始搜索
    {
        const int u=q.front();
        ans[++cnt]=u;//入度为0的点记得放到答案队列里
        q.pop();
        for(int i=1;i<=n;i++)
         if(a[u][i])//删边的操作转化为入度减1
         {
            indeg[i]--;
            if(indeg[i]==0)//如果这个点变成入度为0,入队列
             q.push(i); 
         }
    }
}

void output(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     cout<<ans[i]<<' ';
}

int main()
{
    input();
    topo_sort();
    output();
    return 0;
}

​ 此程序时间复杂度显而易见,邻接矩阵时间复杂度$O(n^2)$。但是用邻接链表的话,由于数据结构不同,时间复杂度$O(n+e)$。

一般来说,链表会好些,不过某些时候矩阵更方便表示。

​ 用栈实现的拓扑排序也是一样的道理。

​ 看到这,应该会有人好奇,为什么不需要$bool$的$visit$数组来标记是否走过这点呢?(你以为是SPFA呢)

​ 答案是:不用标记。因为:(转自@$lyz0$讨论帖的一句话)

在某个结点被弹出队列时,队列中的结点一定不是它的前驱结点,那个结点就一定不会再次入队。

​ 因此,既然节点不会二次入队,所以就不需要$visit$数组啦!同时,也因为拓扑排序保证每个节点、每条边只被访问过一次,因此时间复杂度是线性的,为$O(n+e)$,而不是$O(ne)$(前提是你用的邻接链表)。

毕竟一般情况下,邻接链表还是比邻接矩阵高效。


​ 但是你以为放出了程序就结束了吗?当然不是!!!继续观察下面这幅图:

​ 你可以很明显的发现,拓扑排序的对象只能是个有向无环图(简称DAG)!如果有闭环,那么你将没有入度为$0$的点产生,拓扑排序就异常终止……同时,只要这是个有向无环图,那么它至少有一个拓扑序列

​ 所以,判断这个图是否有闭环就显得很重要!该如何判断呢……(会的可以跳过)

第一种最简单的方法:用拓扑本身

​ 前面说到拓扑排序保证每个节点、每条边只被访问过一次,因此我们只要看一下答案数组存储个数有没有节点数那么多,就可以判断是否有环。有环的话,那么节点就无法入队列,答案数组就会缺。程序如下(代码只多了一个$if$而已):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int MAXN=10005;
int n,m,cnt;
bool a[MAXN][MAXN];
int indeg[MAXN],ans[MAXN];
queue <int> q;

void input(void)
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x][y]=1;
        indeg[y]++;
    }
} 

void topo_sort(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(indeg[i]==0)
      q.push(i);
    while(!q.empty())
    {
        const int u=q.front();
        ans[++cnt]=u;//判断环的核心,看答案数组是否有n个
        q.pop();
        for(int i=1;i<=n;i++)
         if(a[u][i])
         {
            indeg[i]--;
            if(indeg[i]==0)
             q.push(i); 
         }
    }
}

void output(void)
{
    if(cnt<n)//判断是否有环,答案队列不足即有环
    {
        cout<<"有环!"<<endl;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     cout<<ans[i]<<' ';
}

int main()
{
    input();
    topo_sort();
    output();
    return 0;
}

第二种,用$dfs$

用一个$int$类型的$visit$数组,标记节点,其中$-1$表示回到自己,产生了环,直接$return$。否则就继续$dfs$跑一遍这个图,跑完了就没有环。时间复杂度$O(n^2)$。个人建议还是用上面那种比较好,那么这个只是提一提,因为这个比较通俗易懂。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=10005;
int n,m;
bool a[MAXN][MAXN];//邻接矩阵建图
bool flag;//判断是否有环,有环就true
int visit[MAXN];//标记节点,注意是int类型,等会儿会说到

void input(void)
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x][y]=true;//建图
    }
} 

void dfs(const int& k)
{
    visit[k]=-1;//特殊标记
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(visit[i]==0 && a[k][i]==true)//当前为访问这个点并且有边
        {
            dfs(i);//继续访问
            visit[i]=1;//标记为1。注意:这里要放在dfs的后面,因为才不会被-1赋值的时候覆盖
        }   
        if(visit[i]==-1 && a[k][i]==true)//如果回到了自己本身(这就是-1的用处),证明有环
        {
            cout<<"有环!"<<endl;
            flag=true;//标记输出的
            return;//有环可以直接跳出
        }
    }   
   //重点还是要区分1和-1的赋值
}

int main()
{
    input();
    dfs(1);//从起点开始,视情况而变
    if(!flag)//flag的用处,标记输出
     cout<<"无环!"<<endl;
    return 0;
}

​ 其他判断闭环的方法,大家可以自行百度更优做法。(听说并查集可以)


5. 洛谷里的例题

​ 值得一提的是,拓扑排序通常都不单独出,而是配合其他算法综合考察。拓扑排序很多时候是个辅助$AK$图论题的好帮手。给出下面几道例题大家刷刷吧。

P4017 最大食物链计数:一道比较简单的题目,适合新手练。

P1038 神经网络:拓扑排序比较经典题目(我们学校OJ也有)

P1983 车站分级:$NOIp$压轴题,拓扑排序+递推,值得一刷,练练思维。

P1137 旅行计划:拓扑排序+$DP$。这里只讲讲这道题目如何运用拓扑(可以进blog里看题解)。

P3243 [HNOI2015]菜肴制作:正解恍然大悟,一点就通,值得一刷。


题解【P1137 旅行计划】

​ 这道题目大家一看就能发现,只能往东边走,并且有个入度为$0$的起点,因此这是一个有向无环图,可以进行拓扑排序,求出拓扑序列。

​ 那么我们要拓扑序列怎么做呢?由于拓扑序列中,前面的点总是后面的点的前驱,因此可以进行$dp$。

​ 而$dp$式子也很明显,这个城市的路线只能由前面的城市过来(这也像拓扑),因此跟自己与前面城市路线$+1\ max$一下,答案就出来。

​ 当然,为了效率与内存,最好使用邻接链表(建图就不说了)。

​ 具体看注释,参考程序如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int MAXN=100005;
int n,m,cnt;
int indeg[MAXN],f[MAXN],a[MAXN];
//三个数组分别表示:入度、dp数组、拓扑序列
struct node
{
    int to,next;
}edge[MAXN<<2];
int head[MAXN],sum;

void add(const int& x,const int& y)
{
    edge[++sum].next=head[x];
    edge[sum].to=y;
    head[x]=sum;
}

void input(void)
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        indeg[y]++;//统计入度
    }
}

void topo_sort(void)//按上面教程说得来就行了
{
    queue <int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(!indeg[i])//初始化队列
      q.push(i);
    while(!q.empty())
    {
        const int tmp=q.front();
        q.pop();
        a[++cnt]=tmp;//把队列里的入度为0的点存进拓扑序列
        for(int i=head[tmp];i!=0;i=edge[i].next)//遍历一遍图
        {
            const int now=edge[i].to;
            indeg[now]--;
            if(!indeg[now])
             q.push(now);
        }
    }
}

void dp(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     f[i]=1;//每个城市到本身都至少有1条路线
    for(int i=1;i<=n;i++)//每个城市都遍历一遍
    {
        const int tmp=a[i];//注意遍历的是拓扑序列里的城市,此时保证tmp是now的前驱
        for(int j=head[tmp];j!=0;j=edge[j].next)//遍历图
        {
            const int now=edge[j].to;
            f[now]=max(f[now],f[tmp]+1);//把有关联的城市都max一下
        }
    }   
}

void output(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     printf("%d\n",f[i]);
}

int main()
{
    input();
    topo_sort();
    dp();
    output();
    return 0;
}

6. 参考文献与鸣谢

  1. 感谢@zthgreat的一篇博客
  2. 感谢@非我非非我的一篇博客
  3. 感谢@Tartarusi的一篇博客
  4. 感谢@Ufowoqqqo以前的指导;
  5. 感谢度娘……