题解 P6185 【[NOI Online 提高组]序列（民间数据）】
AC_Evil
2020-03-07 20:24:45
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不错的题8~~（不知为啥到我手上特判的贼多）~~
简述题意：给你$n$个结点，每个结点有一个初始值$a_i$，以及目标值，并且给定两种边$(u_i,v_i)$，第一种边使$a_{u_i}$和$a_{v_i}$同时加一，第二种边使$a_{u_i}$和$a_{v_i}$一个加一，一个减一。问最后能否使所有结点变成目标状态。
以下是我在当时测试时的思路。
首先到达最终的目标，也就是说使得对应的结点的数值增加$b_i-a_i$，让每个结点表示这个值，问题就转化成了能否使所有的数值变成$0$了。
看两种边有什么特别之处。一下子看第一种边没发现什么，第二种边相当于可以将一个结点上的**部分数字**“传输”到与其相邻的结点之处，稍加拓展不难发现第二种边构成的连通图中，任意一个结点可将其数字传到另外的任意一个结点，如下图：
这样的意义在于：能**自由分配**连通图中所有的数值（都转移到一个结点、或者分配到若干个点），可以无需关心具体的分配情况，于是将他们**缩成一个点**，其权值为$\sum w_i$。
这样就只剩下第一种边了。它们只有两种情况：（1）连接两个连通块（即缩点后连接两个点），这个的影响是让连接的两个缩点加或减相等的数字；（2）在某个连通块内，这个的影响是让这个缩点加或减一个**偶数**。我们还是用传输的思想，手算会发现（1）可以将某个点的数值**隔两个点**传过去，如下图：
对于缩过点的图，每个由第一种边构成的连通块，仔细想想会发现：如果这个连通块**不能**被黑白染色，则一定可以将数值放到**某一个奇环上的一个点**，同样这个也是**可逆的**，故一个数一定可以借助奇环把另一个**相等的**数消除；反之，如果**能**被黑白染色，显然可以将所有**黑点**的数值和**白点**的数值移到一条**相邻**的边，然后再一起消掉。没有（2）情况的干扰下，对于每个连通块，按照上面分类讨论，如果仍然不能完全消除，那显然输出 NO 了。所有的都满足才输出 YES。
加上（2），其实就是可以对权值调整，在有（2）的连通块下，不一定要全部消除，只要消到能剩余$2$的倍数就好啦（可以依靠这样的边在连通块内部就消除掉）。于是我们整理一下：
1、根据第二种边求出所有的连通块并且缩起来；
2、根据第一种边求出所有的连通块，对每个连通块判断能否黑白染色，如果能就染色，求出所有黑点和白点的权值和，顺便看看有没有情况（2）；
3、检查该连通块是否满足要求：a.如果不能黑白染色，只需要看这个连通块的权值和是不是偶数；b.如果能，判断黑点权值和和白点权值和的关系，如果有（2），那么只需差为偶数即可；否则必须相等（具体详见上文）；
4、如果所有的连通块都能通过测试，输出 YES；否则输出 NO。
时间复杂度$\text{O}(Tn)$。可以通过。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i, a, b) for (int i = a, i##end = b; i <= i##end; ++i)
#define rep0(i, a) for (int i = 0, i##end = a; i < i##end; ++i)
const int maxn = 114514;
int n, m;
std::vector<int> G1[maxn], G2[maxn], G[maxn];
int id[maxn], delta[maxn], tag[maxn], col[maxn], idcnt = 0;
// id为连通块编号、delta表示a[i]-b[i](相反亦可)，tag表示有没有（2）情况，col为染色情况，idcnt表示连通块个数
ll sum[maxn]; // 每个连通块内的权值总和
void dfs(int u) {
sum[id[u] = idcnt] += delta[u]; // 标记连通块并且合并权值
rep0(i, G2[u].size()) if (!id[G2[u][i]]) dfs(G2[u][i]);
}
int paint(int u, ll &white, ll &black, int &flag) {
int ok = 1; // 表示是否染色成功
col[u] == 1 ? white += sum[u] : black += sum[u]; flag |= tag[u]; // 计算white,black点的权值
rep0(i, G[u].size()) {
int v = G[u][i];
if (col[v]) { if (col[v] == col[u]) ok = 0; continue; } // 失败
col[v] = 3-col[u];
ok &= paint(v, white, black, flag);
}
return ok;
}
int main() {
for (int T = read(); T; T--) {
n = read(), m = read();
rep(i, 1, n) delta[i] = read();
rep(i, 1, n) delta[i] -= read();
rep(i, 1, n) G1[i].clear(), G2[i].clear(); // 清空
rep(i, 1, m) {
int t = read(), u = read(), v = read();
if (t == 1) G1[u].push_back(v), G1[v].push_back(u);
if (t == 2) G2[u].push_back(v), G2[v].push_back(u);
}
memset(id, 0, sizeof id); idcnt = 0;
rep(i, 1, n) if (!id[i]) G[++idcnt].clear(), sum[idcnt] = tag[idcnt] = col[idcnt] = 0, dfs(i); // 初始化+标记
rep(u, 1, n)
rep0(i, G1[u].size()) {
int v = G1[u][i];
if (id[u] == id[v]) tag[id[u]] = 1; else G[id[u]].push_back(id[v]);
}
int ans = 1;
rep(i, 1, idcnt) {
if (col[i]) continue; // 染过色直接跳过
ll white = 0, black = 0; int flag = 0;
col[i] = 1;
if (paint(i, white, black, flag)) { // 染色成功
if (flag) { if ((white ^ black) & 1) { ans = 0; break; } } // 有（2）情况判断差是否为偶数
else if (white != black) { ans = 0; break; } // 没有就判断是否相等
} else if ((white ^ black) & 1) { ans = 0; break; } // 不成功判断差是否为偶数
}
printf("%s\n", ans ? "YES" : "NO");
}
return 0;
}
```